Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele 6 3 3 , 3 și 2 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 1f x x mx   , unde m este număr real. Determinați
numerele reale m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
5 5 24x x   .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre
distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3 .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul D mijlocul laturii AC și punctul M astfel încât
2 3 0MA MB MC  
    . Arătați că dreptele MD și AB sunt paralele.
5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , în care 3AC  și măsurile unghiurilor A și
B sunt de 30 , respectiv 60 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
,
1 0 1
0 0
2 0 1
B i
 
 
  
   
și   3A z aI bB  , unde z a ib  , cu
a și b numere reale și 2 1i   .
5p a) Arătați că det B i .
5p b) Demonstrați că      1 2 1 2A z A z A z z  , pentru orice numere complexe 1z și 2z .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care             31 2 3 1 2 3A i A i A i A i A i A i nI            .
2. Pe  1,M   se definește legea de compoziție asociativă  1 1
2log 2 2 2 6x y x y
x y   
     .
5p a) Arătați că    2log 2 2 2 2 2x y
x y     , pentru orice ,x y M .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Arătați că 3x x x x   , pentru orice x M .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,    3 3 1 x
f x x x e
   .
5p a) Arătați că     2
2 1 x
f x x x x e
     , x  ℝ .
5p b) Arătați că  
 
 
2
lim
x
f x ex
xx
f x e e
f x e
 

   
  
.
5p c) Demonstrați că funcția :g ℝ ℝ ,     1x
f x
g x e
  are un singur punct de extrem.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția  : 1,f   ℝ ,    ln 1f x x x  .
5p a) Arătați că  
 
6
4
10
ln 1
f x dx
x 
 .
5p b) Demonstrați că    7 3F F , pentru orice primitivă F a funcției f .
5p c) Determinați numărul real m , știind că    
5
3
4ln 2 1f x dx m  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.      6 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3       3p
 2
3 , deci numerele 6 2 3 , 3 și 2 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice
2p
2. Axa Ox este tangentă graficului funcției 2
0 4 0f m      3p
2m   sau 2m  2p
3. 25 5 5 24x x
   , deci 5 1x  3p
0x  2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 81 de elemente, deci sunt 81 de
cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte sunt 3 9 27  de numere care au
cifra zecilor multiplu de 3 , deci sunt 27 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 3
p   1p
5. 2 2 3 0MA MA AB MC   



 


 


 



  , deci  3 2 0MA MC AB  



 



 


  și, cum 2MA MC MD 



 



 



 ,
obținem 1
3
MD AB 




 


 3p
Vectorii MD




 și AB



 sunt coliniari, deci dreptele MD și AB sunt paralele 2p
6. Unghiul C are măsura egală cu 90 , deci triunghiul ABC este dreptunghic în C 2p
3
sin 2
B  și, cum 3AC  , obținem 2 3AB  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
   
1 0 1
det 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0
2 0 1
B i i i             
 
3p
2i i i    2p
b) Cum 3B B I   ,       1 2 3 3 3A z A z aI bB cI dB acI adB bcB bdB B          3p
     3 1 2ac bd I ad bc B A z z     , pentru orice 1z a ib  și 2z c id  , cu a , b , c
și d numere reale 2p
c)                    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3A i A i A i A i A i A i A i i i i i i                   2p
          31 1 2 2 3 3 2 5 10 100A i i i i i i A I           , deci 100n  3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)   1
2log 2 2 2 2 4 2x y y
x y 
       3p
        2 2log 2 2 2 2 2 2 2 log 2 2 2 2 2x y y x y
         , pentru orice ,x y M 2p
b) x e x  pentru orice x M , unde e este elementul neutru al legii de compoziție, deci
  2 2 2 3 0x e
   pentru orice x M , de unde obținem 2log 3e M  3p
Cum  2log 3 x x  pentru orice x M , obținem că 2log 3e  este elementul neutru al
legii de compoziție „  ” 2p
c)
 3
2log 2 2 2x
x x x  
     
  , pentru orice x M 3p
     
3 2
2 23 3
2 2 2 6 2 1
3 log log 1 0
2 2
x x
x x
x x x x
   
     
         
   
   
, pentru orice x M , de
unde obținem că 3x x x x   , pentru orice x M
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)           3 3 2 3' '' 3 1 3 1 3 3 3 1x x x x
f x x x e x x e x e x x e   
            3p
    3 2 2
3 3 2 2 1x x
x x x e x x x e 
         , x  ℝ 2p
b)
 
 
 
 3
3 33
2 3 1
3 2 3 23 13 2
3 3
3 2
lim lim lim 1
3 2 3 2
x
x x
x x x xf x e x xx
xx x x
f x e x x
f x e x x x x
  
      
  
 
       
                      
3p
 3
3
2 3 1
lim 23 2x
x x
x xe e
  
   2p
c)
   
 
3
3
3
3 , ,0
3 3 , 0,
x x x
g x x x x x x
   
      
2p
g este continuă și, cum pentru orice  ,0x   ,   2
' 3 3 0g x x g     este strict
descrescătoare pe  ,0 și pentru orice  0,x   ,   2
' 3 3 0g x x g    este strict
crescătoare pe  0,  , obținem că funcția g are un singur punct de extrem
3p
2.a)  
 
6 6 2
4 4
6
ln 1 2 4
f x x
dx xdx
x   
  3p
18 8 10   2p
b) F este o primitivă a lui f , deci      ' ln 1F x f x x x   , de unde obținem că  ' 0F x  ,
pentru orice  2,x   , deci F este strict crescătoare pe  2,  3p
Cum 2 7 3  , obținem că    7 3F F 2p
c)
        5 5 52 2
3 3 3
5 1 1'1 1 1
ln 1 ln 1
2 2 2 13
x xx x
f x dx x dx x dx
x
    
         
   3p
 
2 51
12ln 4 4ln 2 20ln 2 5 5 4ln 2 1
2 2 3
x x
 
         
 
, de unde obținem 5m  2p