Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2
81 196 3 2 : 9 1− + = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →  , ( ) 2f x x= − și :g →  , ( ) 2 5 2g x x x= + + . Determinați
coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12 3x x− = .
5p 4. Prețul unui obiect este de 400 de lei. Determinați prețul obiectului după două scumpiri succesive,
cu 20% , respectiv cu 15% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )1,3A și dreapta d de ecuație 3 4y x= −. Arătați
că dreapta OA este paralelă cu dreapta d .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , în care 1
sin 3
A = , 1
sin 4
B = și 8BC = . Determinați lungimea
laturii AC a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 6 6 3 10x y x y xy∗ = + − − .
5p 1. Arătați că 1 2 2∗ = .
5p 2. Arătați că ( )( )2 3 2 2x y x y∗ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 5
3
e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗”.
5p 4. Determinați numerele naturale n pentru care numărul 5N n= ∗ este natural.
5p 5. Calculați ( ) ( ) ( )10 9 8 10− ∗ − ∗ − ∗ ∗ .
5p 6. Determinați numerele reale nenule x pentru care ( )21 2 5x
x ∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 4 1
1 3
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1
2
a
M a a a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1 1M = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )4 2 1 3 3M M M− − = .
5p 3. Arătați că ( ) 27 1 24A A M I⋅ + = .
5p 4. Arătați că matricea 22A I− este inversa matricei ( )1M .
5p 5. Determinați numerele reale a și b pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 9M M M M aM b+ + + + = .
5p 6. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )( )det 0M a M b M b M a⋅ − ⋅ ≤ , pentru orice numere reale a și b .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
81 196 3 2 : 9 9 14 18 : 3− + = − + = 3p
5 6 1=− + = 2p
2. ( ) ( ) 2 2
2 5 2 4 4 0f x g x x x x x x= ⇔ − = + + ⇔ + + = 3p
Coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g sunt 2x = − și
( )2 4y f= − =− 2p
3. 12 3 12 3x x x x− = ⇒ − = 3p
3x = , care convine 2p
4. După prima scumpire, prețul produsului este 20
400 400 480
100
+ ⋅ = de lei 3p
După a doua scumpire, prețul produsului este 15
480 480 552
100
+ ⋅ = de lei 2p
5. 3OAm = 2p
3dm = , deci OA dm m= , de unde rezultă că dreapta OA este paralelă cu dreapta d 3p
6. 8
1 1sin sin
4 3
AC BC AC
B A
= ⇔ = 3p
1 1
8
3 4
AC⋅ =⋅ , deci 6AC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 2 6 1 6 2 3 1 2 10∗ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − = 3p
12 10 2= − = 2p
2. ( )2 3 6 6 12 2 3 2 2 4x y xy x y xy x y∗ = − + + − = − − − + = 3p
( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 2 2 2 3 2 2x y y x y= − − − − = − − − , pentru orice numere reale x și y 2p
3. ( ) ( )
5 5 1
2 3 2 2 2 3 2 2 2
3 3 3
x x x x x
   
∗ =− − − =− − ⋅ − =+ − =   
    , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )
5 5 1
2 3 2 2 2 3 2 2 2
3 3 3
x x x x x
   
∗ = − − − = − ⋅ − − = + − =   
    , pentru orice număr real x ,
deci 5
3
e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
4. 5 20 9N n n= ∗ = − , pentru orice număr natural n 2p
Pentru orice număr natural n , numărul 20 9n− este întreg și, cum N este număr natural,
rezultă că 20 9 0n− ≥ , deci 20
9
n ≤ , de unde obținem 0n = sau 1n = sau 2n = 3p
5. 2 2x ∗ = , 2 2y∗ = , pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
( ) ( ) ( )( ) ( )10 9 8 0 1 2 3 10 2 3 10 2− ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =   3p
6. ( )2 21 2 6 3 2x x x
x ∗ + = − + , pentru orice număr real nenul x 2p
2 2
6 3 2 5 2 1 0x x x x− + = ⇔ − − = , de unde obținem 1
2
x = − sau 1x = , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
( ) ( )( )
1 1 1 1
1 det 1 1 2 1 1
1 2 1 2
M M
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
2 1 1= − = 2p
2. ( ) ( ) 2 1 1 1 9 3
4 2 1 4 2 4 1 2 9 18
M M −     
− − = − = =     
− −      3p
( )
3 1
3 3 3
3 6 M
 
= = 
  2p
3. ( ) 17 7 7 7
7 1 7 10 7 14
A A M −   
⋅ + = + =   
−    3p
2
24 0 24
0 24 I
 
= = 
  2p
4.
2
2 1
2 1 1
A I − 
− =  
−  , ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2
2 1 1 1 2 1 1 2 1 0
2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1
A I M I
 ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅   
− = = =   − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅   
3p
( )( )2 21 2M A I I− = , de unde rezultă că 22A I− este inversa matricei ( )1M 2p
5. ( ) ( ) ( ) ( ) 45 9
1 2 3 9 45 90
M M M M  
+ + + + =  
 
 , ( ) 2
ab a
aM b ab ab
 
=  
 
, unde a și b sunt
numere reale
3p
45 9
45 90 2
ab a
ab ab
   
=   
   
, de unde obținem 9a = și 5b = 2p
6. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
3 4 3 4 0
ab b a b ba a b a b a b a
M a M b M b M a ab a ab ba b ba a b
+ + + + − −     
⋅ − ⋅ = − =     
+ + −      ,
pentru orice numere reale a și b
3p
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
det 0M a M b M b M a a b⋅ − ⋅ =− − ≤ , pentru orice numere reale a și b 2p