Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) 1
2,5 0,7 : 2 1
10
− + − = , unde x reprezintă modulul numărului real x .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2 4f x x= −. Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 4 4f a f a− = +.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 9 3
3 9x x− −
= .
5p 4. După o ieftinire cu 45% , un produs costă 77 de lei. Determinați prețul produsului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 1A − , ( )5,7B − și ( )7,7C . Calculați aria
triunghiului ABC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 6AB AC= =și 4BC = . Calculați cos A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )4 2x y x y xy= + − .
5p 1. Arătați că ( )2 3 16− = .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( )1 8x x− = .
5p 4. Determinați cel mai mic număr natural n pentru care 1 2021n ≥ .
5p 5. Determinați numărul întreg a pentru care numărul 2A a=  este întreg.
5p 6. Se consideră numerele reale x , y și z , termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Arătați că,
pentru orice număr real m , numerele x m , y m și z m sunt termeni consecutivi ai unei progresii
aritmetice.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 2
3 8
A  
=  
 
, 1 2
3 8
B − 
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 2A = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) 224A B A B I+ ⋅ + = .
5p 3. Determinați matricea ( )2X ∈ 
 pentru care ( ) ( )2 3X A X B− = − .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( )2det 2A xI+ = .
5p 5. Arătați că, pentru orice număr natural nenul n , numărul ( ) ( )( )det 1 1N n A n B= + + − este natural,
multiplu de 8 .
5p 6. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )2 2A A xI B B xI⋅ − = ⋅ + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 1 1 1
2,5 0,7 : 2 1,8: 2 0,9
10 10 10
− + − = + = + = 3p
0,9 0,1 1= + = 2p
2. ( )2 4 4 12f a a− = − , ( ) 2 4f a a= −, pentru orice număr real a 2p
4 12 2 4 4a a− = − + , de unde obținem 6a = 3p
3. ( )2 39
3 3 9 6 2
xx x x
−− = ⇔ − = − 3p
3x = − 2p
4. 45 77
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul produsului înainte de ieftinire 3p
140x = de lei 2p
5. 12BC = 2p
( ) 8 12
, 8 48
2
ABCBC Ox d A BC ∆
⋅
⇒ =⇒ = =
 3p
6. 2 2 2 2 2 2
6 6 4
cos 2 2 6 6
AB AC BC
A AC BC
+ − + −
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3p
36 36 16 7
2 6 6 9
+ −
= =
⋅ ⋅ 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )2 3 4 2 3 2 2 3− = − + − ⋅ − ⋅ = 3p
4 12 16= + = 2p
2. ( ) ( )4 2 4 2y x y x yx x y xy= + − = + − = 3p
x y=  , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „  ” este comutativă 2p
3. ( ) 2
1 4 2 2x x x x− = − + , pentru orice număr real x 2p
2 2
4 2 2 8 2 0x x x x− + = ⇔ − − = , de unde obținem 1x = − sau 2x = 3p
4. 1 2 4n n= + , pentru orice număr natural n 2p
2017
2 4 2021 2
n n+ ≥ ⇒ ≥ , de unde obținem că 1009 este cel mai mic număr natural n pentru
care 1 2021n ≥
3p
5. ( )2 4 4 2 2 2 4 4 2 2A a a a a a= = + − = + − , pentru orice număr întreg a 2p
A este număr întreg și, cum a este număr întreg, rezultă 4 2 0a− = , de unde obținem 2a = 3p
6. 2
2
x z
y x z y
+
= ⇒ + = 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 4 2 2 2 2 4 2
2 2 2
x m z m x m z m x z y m m y y m my y m
+ + + − + + − ⋅
= = = + − =
   ,
deci numerele x m , y m și z m sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 2
det 1 8 2 3
3 8
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
8 6 2= − = 2p
2. ( ) ( )
0 4 24 0
6 0 0 24
A B A B A B
   
+ = ⇒ + ⋅ + = =   
    3p
2
1 0
24 24
0 1 I
 
= = 
  2p
3. ( ) ( )2 3 3 2X A X B X B A− = − ⇔ = − 2p
3 6 2 4
9 24 6 16
X −   
= −   
−    , deci 5 2
3 40
X − 
=  
−  3p
4. ( ) 2
2
1 2
det 9 2
3 8
x
A xI x x
x
+
+ = = + +
+ , pentru orice număr real x 3p
2 2
9 2 2 9 0x x x x+ + = ⇔ + = , de unde obținem 9x = − sau 0x = 2p
5. ( ) ( )( ) ( )2 22 4
det 1 1 32 24 8 4 3
6 16
n
N n A n B n n
n
= + + − = = − = −, pentru orice număr natural
nenul n
3p
Cum, pentru orice număr natural nenul n , numărul 2
4 3n − este număr natural, obținem că
numărul N este natural, multiplu de 8 2p
6. ( ) ( ) ( )2 2A A xI B B xI A A B B x A B⋅ − = ⋅ + ⇔ ⋅ − ⋅ = + 2p
0 36 0 4
54 0 6 0
x
   
=   
    , de unde obținem 9x = 3p