Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că media geometrică a numerelor 1
1 2
a = + și 6 16b = este egală cu 6 .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2 2 3f x x x= + + . Determinați numărul real a , 2a ≠ − , pentru
care ( ) ( )2f a f= −.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația ( )5 5 5log 3 15 log 2 log 3x − = + .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, care
au toate cifrele egale, acesta să fie multiplu de 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2A a− și ( )5,5B a , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , știind că lungimea segmentului AB este egală cu 7 .
5p 6. Arătați că 2
2sin 135 sin 30 cos 60 0° − ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție 6x y x y∗ = − − .
5p 1. Arătați că 5 2021 2020∗ =− .
5p 2. Arătați că ( )1 1x x∗ ∗ = , pentru orice număr real x .
5p 3. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )1 4 15x x+ ∗ = .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) 6x y z t x y z t∗ ∗ ∗ = + + + − , pentru orice numere reale x , y , z și t .
5p 5. Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( )2 0x x∗ − ≥ .
5p 6. Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 2 2n n n n
∗ ∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( ) 1
, 1
x
A x y x y
 
=  
− + 
, unde x și y sunt numere reale.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1,3 1A − =− .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )2 1,1 2, 2 0,0A A A− = .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )0,0 1,0 1,0A A A⋅ =− .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( )det ,1 1,1 9A x xA− = .
5p 5. Demonstrați că ( )( ) ( )( )det , det , 2A x y A y x+ ≥ , pentru orice numere reale x și y .
5p 6. Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) ( ), , 0, 1A x y A y x A⋅ − − = −.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3
2
a = , 24b = 2p
3 24 36 6
2
gm = ⋅ = = 3p
2. ( ) 2 2 3f a a a= + + , ( )2 3f − = 2p
2 2
2 3 3 2 0a a a a+ + = ⇔ + = , și, cum 2a ≠ − , obținem 0a = 3p
3. ( )5 5log 3 15 log 6 3 15 6x x− = ⇒ − = 3p
7x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre, care au toate cifrele egale, are 9 elemente, deci sunt
9 cazuri posibile 2p
Numerele naturale de trei cifre, care au toate cifrele egale și sunt multipli de 9 , sunt 333 ,
666 și 999 , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 1p
5. 2
49 9AB a= +, unde a este număr real 2p
2
49 9 7a+ = , de unde obținem 0a = 3p
6. 2
sin135 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
2
2 2 1 1 2
2sin 135 sin 30 cos 60 2 2 1 0
2 2 2 4
 
° − ° − ° = ⋅ − − = ⋅ − =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 5 2021 6 5 2021∗ = − − = 3p
1 2021 2020=− =− 2p
2. ( ) ( ) ( )1 1 5 1 6 5 1x x x∗ ∗ = − ∗ = − − − = 3p
6 5 1x x= − + − = , pentru orice număr real x 2p
3. ( ) ( )1 4 5 5x x x+ ∗ = − , pentru orice număr real x 2p
5 5 15x− = , de unde obținem 2x = − 3p
4. ( ) ( ) ( ) ( )6 6 6x y z t x y z t∗ ∗ ∗ = − − − − − − = 3p
6 6 6 6x y z t x y z t= − + + − + + = + + + − , pentru orice numere reale x , y , z și t 2p
5. ( )2 2
6x x x x∗ − = − + , pentru orice număr real x 2p
2 6 0x x− + + ≥ , de unde obținem [ ]2,3x ∈ − 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 6n n n n n
∗ ∗ ∗ =⋅ − , pentru orice număr natural n 2p
2 2 2
4 2 8 2 2 1n n n⋅ = ⇔ = ⇔ = și, cum n este număr natural, obținem 1n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1,3 det 1,3 1 2 1 1
1 2 1 2
A A
− − 
− = ⇒ − = =− ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
2 1 1=− + =− 2p
2. ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 1
2 1,1 2, 2 2 1 2 1 4 2 4 1 4
A A        
− = − = − =       
− − − −        3p
( )
0 1 0,0
1 0 A
 
= = 
−  2p
3. ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 0 1
0,0 1,0 1 0 1 1 1 0 1 0
A A − +    
⋅ = = =    
− − − + − +     3p
( )
1 1 1,0
1 1 A
− 
= = − 
− −  2p
4. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )20 1
,1 1,1 det ,1 1,1 1
1 1
x
A x xA A x xA x
x x
− 
− = ⇒ − =− 
− + − 
, pentru orice număr
real x
3p
( )2
1 9x − = , de unde obținem 2x = − sau 4x = 2p
5. ( )( ) ( )
1
det , 1
1
x
A x y x x y
x y
= = + +
− + , ( )( ) ( )
1
det , 1
1
y
A y x y x y
y x
= = + +
− + , pentru
orice numere reale x și y
2p
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2
det , det , 2 2 2A x y A y x x x y y x y x y+ = + + + + = + + ≥ , pentru orice numere
reale x și y 3p
6.
( ) ( ) ( )2
11 1
, , 1 1 1
xy yx y
A x y A y x x y y x x x y
− − − −  
⋅ − − = =      − + − − − − − − +    
, pentru orice
numere reale x și y
3p
( )2
1 0 1
1 11
xy y
x x y
− − −   
=     − −− − − +   
, de unde obținem 1x = și 1y = − 2p