Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3
3
1
9 : 1 8
2
 
− − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2f x ax= −, unde a este număr real. Arătați că, dacă punctul
( )1,3A aparține graficului funcției f , atunci punctul ( )1, 7B − − aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2 5
5 125x− = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
numărul 3
3n− să fie subunitar.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A − , ( )0, 2B , ( )1,3C și D , astfel încât
segmentele AB și CD au același mijloc. Determinați coordonatele punctului D .
5p 6. Se consideră pătratul ABCD de latură 12 și punctul O , intersecția dreptelor AC și BD .
Determinați aria triunghiului AMC , știind că M este mijlocul segmentului OB .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 2 2 3
x y x x y xy y= − − + .
5p 1. Arătați că ( )1 2 9− =− .
5p 2. Arătați că ( )( )2
x y x y x y= + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p 4. Arătați că ( ) 0x x− = , pentru orice număr real x .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( )2 24x x = .
5p 6. Determinați numerele naturale m și n , cu m n> , pentru care 9m n = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 0 1
1 0
A  
=  
 
și 2
3
a
B b
 
=  
− 
, unde a și b sunt numere reale.
5p 1. Arătați că det 1A = − .
5p 2. Pentru 3a = și 1b = − , calculați 3 2A B− .
5p 3. Pentru 3a = − și 2b = , arătați că A B B A⋅ = ⋅ .
5p 4. Determinați numerele reale a și b pentru care 2B B I⋅ = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 5. Arătați că ( )det 3A B− ≤ − , pentru orice numere naturale nenule a și b .
5p 6. Arătați că, dacă numărul a este cu 5 mai mare decât numărul b , atunci ( )det 0A B B A⋅ + ⋅ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )3
3
1 1 1
9 : 1 9 : 1 9 : 1
8 82
     
− − = − − = + =          3p
8
9 8
9
= ⋅ = 2p
2. ( )1 3 2 3f a= ⇔ − = , de unde obținem 5a = 3p
( ) ( )1 5 1 2 7f − = ⋅ − − =− , deci punctul ( )1, 7B − − aparține graficului funcției f 2p
3. 2 5 3
5 5 2 5 3x x− = ⇔ − = 3p
4x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
3
3 1 3 0n n− < ⇒ − < și, cum n este număr natural, obținem 0n = sau 1n = sau 2n = , deci
sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10
p = = 1p
5. ( )1,3M − , unde M este mijlocul segmentului AB 2p
M este mijlocul segmentului CD , deci 1
1 2
Dx+
− = , 3
3 2
Dy+
= , de unde obținem 3Dx = −
și 3Dy =
3p
6. 12 2AC = , 3 2MO = 2p
MO AC⊥ , deci 3 2 12 2 36
2 2
AMC
MO AC
∆
⋅ ⋅
= = =
 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( ) ( )2 33 2
1 2 1 1 2 1 2 2− = − ⋅ − − ⋅ − + − = 3p
1 2 4 8 9=+ − − =− 2p
2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
x y x x y y x y x y x y= − − − = − − = 2p
( )( )( ) ( )( )2
x y x y x y x y x y= + − − = + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( ) ( )( )2 2
x y x y x y y x y x= + − = + − = 3p
y x=  , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „  ” este comutativă 2p
4. ( ) ( )( ) ( )( )2
x x x x x x− = + − − − = 2p
( )( )2 0x x x x= − + = , pentru orice număr real x 3p
5. ( ) ( )( )2 2 3
2 2 2 3 3x x x x x x x x x= + − = ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
3 3
3 24 8x x= ⇔ = , de unde obținem 2x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. ( )( )2 9m n m n+ − = , pentru orice numere naturale m și n 2p
Cum m n+ și m n− sunt numere naturale, rezultă că 1m n+ = și 3m n− = sau 9m n+ =
și 1m n− = , de unde obținem 2m = și 1n = − , care nu convin și 5m = și 4n = , care
convin
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 0 1
det 0 0 1 1
1 0
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
0 1 1= − =− 2p
2. 3 2 0 3 6 4
3 2
1 3 3 0 2 6
B A B
     
= ⇒ − = − =     
− − − −      3p
6 1
5 6
− − 
=  
  2p
3. 3 2 2 3
2 3 3 2
B A B
− −   
= ⇒ ⋅ =   
− −    3p
2 3
3 2
B A − 
⋅ =  
− 
, deci A B B A⋅ = ⋅ 2p
4. 2 2 2 6
3 2 9
a b a
B B ab b b
 + −
⋅ =   − + 
, pentru orice numere reale a și b 3p
2 1 02 2 6 3
0 13 2 9
a b a a
ab b b
   + − = ⇔ =    − +   
și 4b = − 2p
5. ( ) ( )
1 det 1 3
1 3
a
A B A B a b
b
− − 
− = ⇒ − = − + 
− 
, pentru orice numere naturale a și b 2p
Cum a și b sunt numere naturale nenule, rezultă că 3 4a b+ ≥ , deci ( )det 1 4 3A B− ≤ − =− 3p
6. ( ) ( ) ( )2 22 3 det 2 3
3 2
b a
A B B A A B B A b a
a b
+ − 
⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = + − − 
− + 
, pentru orice numere
naturale a și b
2p
5a b= +, deci ( ) ( ) ( )2 2
det 2 5 3 0A B B A b b⋅ + ⋅ = + − + − = 3p