Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 3 3 2 1
2 3 − + =
− .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2 6f x x= −. Determinați numărul real a , știind că
( ) ( ) ( )2 9f a f a f+ = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 3 2x x x+ = .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare de trei cifre se pot forma cu cifre din mulțimea { }1, 2,3, 4,5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 3A − , ( )5,1B și dreapta d de ecuație
2 0x y a− + = , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că mijlocul segmentului
AB este situat pe dreapta d .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 20BC = și 4
sin 5
B = . Calculați aria triunghiului
ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 5 5 5 6x y xy x y= − − + .
5p 1. Arătați că 1 5 1= .
5p 2. Arătați că ( )( )5 1 1 1x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 6
5
e = este elementul neutru al legii „  ”.
5p 4. Determinați numărul real x pentru care 4 6
5 5
x = .
5p 5. Determinați perechile ( ),a b de numere naturale pentru care 21a b = .
5p 6. Calculați 5 5 5 5
1 2 3 9
   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2 4
3 2
A − − 
=  
 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 22B x xA I= −, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că det 8A = .
5p 2. Arătați că 28A A I⋅ =− .
5p 3. Demonstrați că matricea ( )B x este inversabilă, pentru orice număr real x .
5p 4. Determinați numărul real x pentru care ( ) 2
1 9
2
B x B I
 
⋅ = 
  .
5p 5. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )xB x yB y x y B x y− =− + , pentru orice numere reale x și y .
5p 6. Determinați numărul întreg k pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 ... 20 20 21B B B B kB− + − − = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
   2 2 32 3 3 2 3 3 2 3
4 32 3

      

3p
4 2 3 3 2 3 1     2p
2.   2 6f a a  ,  2 4 6f a a  ,  9 12f  3p
6 12 12 4a a    2p
3. 2
3 3x x x x   2p
0x  sau 3x  , care convin 3p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 5 moduri, iar pentru
fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor poate fi aleasă în câte 5
moduri, deci se pot forma 3 5 5 75   de numere
3p
5.  3, 1M  , unde M este mijlocul segmentului AB 2p
 3 2 1 0a     , de unde obținem 5a   3p
6. 16AC  , 12AB  2p
16 12 96
2 2
AB AC 
  
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 5 5 1 5 5 1 5 5 6        
 3p
25 5 25 6 1     2p
2.    5 5 5 5 1 5 1 5 1 1x y xy x y x y y          
 2p
     1 5 5 1 5 1 1 1y x x y        , pentru orice numere reale x și y 3p
3. 6 6 6
5 5 5 6 6 5 6 6
5 5 5
x x x x x x          
 , pentru orice număr real x 2p
6 6 6
5 5 5 6 6 6 5 6
5 5 5
x x x x x x           
 , pentru orice număr real x , deci 6
5
e 
este elementul neutru al legii de compoziție „ 
”
3p
4.  
4 1
5 1 1 2
5 5
x x x
 
         
 

 , pentru orice număr real x 3p
6
2 5
x   , de unde obținem 4
5
x  2p
5.      5 1 1 1 21 1 1 4a b a b        2p
Cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile  2,5 ,  3,3 ,  5, 2 3p
6. 1 1x 
 și 1 1y 
 , pentru orice numere reale x și y 2p
5 5 5 5 5 5 5 5
1 1 1
1 2 3 4 6 9 6 9
   
    
   

 
 
 
 
 
…
 
 
… 
 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
 
2 4
det 2 2 4 3
3 2
A  
        3p
4 12 8    2p
2.  2 4 2 4 8 04 12 8 8
3 2 3 2 0 86 6 12 4
A A            
         
         3p
2
1 0
8 8
0 1 I
 
    
  2p
3.
     24 1 8 4 1 8
det 32 1
6 4 1 6 4 1
x x x x
B x B x x
x x x x
      
     
   , pentru orice număr real x 3p
2
32 1 0x   , deci   det 0B x  , adică matricea  B x este inversabilă pentru orice număr
real x 2p
4.   4 1 8 3 4 12 3 8 41
6 4 1 3 1 6 3 20 12
x x x x
B x B x x x x
            
                   2p
12 3 8 4 9 0
6 3 20 1 0 9
x x
x x
     
   
      
, de unde obținem 1
2
x   3p
5.     2 2
2 22 2xB x yB y x A xI y A yI      2p
             2 22 2x y x y A x y I x y x y A I x y B x y            , pentru orice
numere reale x și y 3p
6.              1 20 20 10 10 11 11 19 17 15 3 1 21B B B B B           … … 3p
     5 2 21 10 21B B     , deci 10k   2p