Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 12
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 12
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )2 6 2 2 1 3 4+ + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 4 1f x x= −. Determinați numărul real a pentru care
( ) ( ) ( )0 3 0f a f f⋅ + = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
16 2 8x x
⋅ = .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifre din mulțimea
{ }6,7,8,9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 4A , ( )1, 4B − și ( )1, 2C − − . Determinați aria
triunghiului ABD , știind că punctul D este mijlocul segmentului AC .
5p 6. Arătați că ( )tg30 tg60 sin 60 2° + ° ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 9x y xy x y∗ = + +.
5p 1. Arătați că 1 2 21∗ = .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „ ∗” este comutativă.
5p 3. Arătați că 0e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p 4. Determinați numărul real x pentru care ( )1 15x− ∗ = .
5p 5. Determinați simetricul elementului 1x = în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
5p 6. Determinați numerele naturale n pentru care 1 2
3 3
N n= ∗ ∗ este număr natural de două cifre.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 4 1
1 2
A  
=  
−  și ( ) 2
2
1
a
X a a
 
=   
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că det 9A = .
5p 2. Arătați că ( ) ( )2 3 1A X X+ = .
5p 3. Arătați că 26 9A A A I⋅ = − , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p 4. Arătați că matricea ( ) ( ) ( )M a X a X a= + − este inversabilă, pentru orice număr real a .
5p 5. Determinați numerele naturale n pentru care matricea ( ) ( )1B X X n= − ⋅ are toate elementele
numere naturale.
5p 6. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )( )det 2 3X a X a− = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 12
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.    2 6 2 2 1 3 12 2 2 2 3        3p
2 3 2 2 2 3 4     2p
2.  0 1f   ,  3 11f  ,   4 1f a a  , unde a este număr real 2p
  4 1 1 11 0 4 12 0a a        , de unde obținem 3a  3p
3. 4 2 3 4 2 3
2 2 2 2 2 4 2 3x x x x x x
       3p
4x  2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri 2p
Cum cifrele sunt distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă
în câte 3 moduri, iar pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor
poate fi aleasă în câte două moduri, deci se pot forma 4 3 2 24   de numere
3p
5. 1
2
ABD ABC 
A
A 2p
Triunghiul ABC este dreptunghic în B , cu 4AB  și 6 12
2
ABC
AB BC
BC 

   
A , de
unde rezultă că 6ABD 
A
3p
6. 3
sin 60 2
  , 1
tg30 3
  , tg60 3  3p
  3 3 1 3
tg30 tg60 sin 60 3 2
3 2 2 2
 
           
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 2 9 1 2 1 2       3p
18 1 2 21    2p
2. 9 9x y xy x y yx y x        3p
y x  , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ” este comutativă 2p
3. 0 9 0 0x x x x       , pentru orice număr real x 2p
0 x x  , pentru orice număr real x , deci 0e  este elementul neutru al legii de compoziție
„ ” 3p
4.  1 8 1x x     , pentru orice număr real x 2p
8 1 15x   , de unde obținem 2x   3p
5. 1 ' 0 9 ' 1 ' 0x x x      2p
Simetricul elementului 1x  în raport cu legea de compoziție „ ” este 1
' 10
x   3p
6. 1 2
3 3
N n   , 1 2 3
3 3
  2p
3 28 3N n n    , pentru orice număr natural n și, cum N este număr natural de două cifre,
obținem 1n  sau 2n  sau 3n  3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.  
4 1
det 4 2 1 1
1 2
A       
 3p
8 1 9   2p
2.   4 1 2 2 6 3
2 1 2 4 1 3 3
A X      
         
      3p
 
2 1
3 3 1
1 1 X
 
  
  2p
3. 15 6
6 3
A A  
   
  3p
2
24 6 9 0 15 6
6 9 6 12 0 9 6 3
A I      
        
      
, deci 26 9A A A I   2p
4.
  2
4 0
2 2
M a a
 
   
 
, pentru orice număr real a 2p
   2
4 0
det 8 0
2 2
M a a
   , deci matricea  M a este inversabilă, pentru orice număr real a 3p
5.
    2
2 2
22 1 4 2 1
1 1 1 1 2 1
n n n
B X X n n n n
                      
, pentru orice număr natural n 2p
Numerele 2
2 n și 1n  sunt naturale pentru orice număr natural n și, cum 2
4 n și 2 1n 
sunt numere naturale, obținem că 1n  sau 2n  3p
6.
       3
2 2
2 2 0
2 det 2 3
4 1 3 0
a a
X a X a X a a
a a
 
       
 
, pentru orice număr real a 3p
3 3
3 3 1a a     , de unde obținem 1a   2p