Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 11

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 11
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 11
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia aritmetică   1n n
a  cu 1 2a   și 3 4a  . Calculați termenul 4a .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2f x ax  , unde a este număr real nenul. Determinați
numărul real a pentru care graficul funcției f intersectează axa Ox în punctul  2,0A .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  8log 7 8 2x   .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule de o
cifră, numărul 2n să fie număr natural de două cifre.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2, 2A  ,  2,5B și  5,1C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 17AB  , 10AC  și înălțimea 8AD  , unde punctul D
aparține laturii BC . Determinați lungimea laturii BC a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea  0,M   se definește legea de compoziție 6
1
x y
x y xy
 
   .
5p 1. Arătați că 1 2 3  .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p 3. Arătați că 1 1x   , pentru orice x M .
5p 4. Determinați numărul x M pentru care 1
3 2
x  .
5p 5. Determinați x M pentru care 2x x  .
5p 6. Determinați perechile  ,m n de numere naturale, cu m n , pentru care 1m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
, 1 2
2 0
A  
  
 
și   1
0
x
B x x
 
  
 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că det 4A   .
5p 2. Arătați că      6 3 2 4 0B B B   .
5p 3. Arătați că     22 2 4B B A I    .
5p 4. Arătați că   det 2 0B x xA  , pentru orice număr real x .
5p 5. Determinați matricea  2X  ℝ
M cu proprietatea că  1B X A  .
5p 6. Determinați perechile  ,m n de numere întregi, m n , pentru care     2det 4B m B n mnI   .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 11
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 12r a a  , de unde obținem 3r  3p
4 7a  2p
2.  2 0f  2p
2 2 0a   , de unde obținem 1a   3p
3.   2
8log 7 8 2 7 8 8 7 8 64x x x        3p
8x  , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele naturale n , nenule, de o cifră, pentru care 2n este număr natural de două cifre sunt
5 , 6 , 7 , 8 și 9 , deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5
nr. cazuri posibile 9
p   1p
5. 5AB  , 5BC  , deci triunghiul ABC este isoscel 2p
50AC  , de unde obținem 2 2 2
AC AB BC  , deci triunghiul este dreptunghic isoscel 3p
6. Cum triunghiul ADB este dreptunghic, rezultă că 2 2 15BD AB AD   2p
Cum triunghiul ADC este dreptunghic, rezultă că 2 2 6DC AC AD   și, cum
BC BD DC  , obținem 21BC  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 2 6
1 2 1 2 1
 
  
  3p
9 3
3
  2p
2. 6 6
1 1
x y y x
x y xy yx
   
   
  3p
y x  , pentru orice numere x și y din mulțimea M , deci legea de compoziție „ ” este
comutativă 2p
3. 1 6
1 1
x
x x
 
  
 2p
6
1 1
1x
  
 , pentru orice x M 3p
4. 9
3 3 1
x
x x

   , pentru orice x M 2p
9 1 2 18 3 1
3 1 2
x x x
x
     
 , de unde obținem 17x  , care convine 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
5.
2
2 6
1
x
x x x

   , pentru orice x M 2p
2
2
2 6 2 2 0
1
x x x
x
     
 și, cum x M , obținem  0,2x  3p
6. 6
1 1 1 6
1
m n
m n mn m n
mn
 
        
 , unde m și n sunt numere naturale 2p
  1 1 6m n   și, cum m și n sunt numere naturale cu m n , obținem perechile  2,7
și  3, 4 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
   
1 2
det 1 0 2 2
2 0
A 
       
 3p
0 4 4    2p
2.   1 6
6 6 0
B  
   
 
,      
1 2 4 0
2 6 3 2
2 0 0 0
B B B
   
        
    3p
 
1 0
4 4 0
0 0 B
 
  
  2p
3.      
1 2 5 2 1 2 4 0
2 2 2
2 0 2 4 2 0 0 4
B B B A
         
                
         3p
2
1 0
4 4
0 1 I
 
  
  2p
4.    
1 2 1 0
2 2
2 0 4 0
x x
B x B x xA
x x
   
      
     , pentru orice număr real x 3p
      det 2 1 0 4 0 0B x xA x x        , pentru orice număr real x 2p
5.     
1 1
1 det 1 1
1 0
B B
 
   
  , deci matricea  1B este inversabilă și inversa ei este
   1 0 1
1 1 1
B   
  
 
3p
   1 2 0
1 1 2
X B A
  
   
   2p
6.         2
1 1
0
mn n n
B m B n B m B n mnI
m mn m
   
        
     
, de unde obținem
    2det B m B n mnI mn   , pentru orice numere întregi m și n
3p
4mn  și, cum m și n sunt numere întregi cu m n , obținem  4, 1  ,  2, 2  ,  1, 4 și
 2,2 2p