Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1 1 1 1 1
: : 3
3 2 5 3 2 5 5
 
⋅ − ⋅ − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 3 4f x x= − . Determinați valorile reale x pentru care
( ) ( )5 1f x f≤ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1
8 32x x− = .
5p 4. Pentru cinci caiete de același tip și un bloc de desen s-au plătit 27 de lei. Știind că prețul unui
caiet este 25% din prețul blocului de desen, determinați prețul blocului de desen.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ),1A a și ( )4,B a , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , 0a > , știind că punctul O aparține dreptei AB .
5p 6. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC , în care 5AB = și lungimea catetei AC este cu 1 mai
mică decât lungimea ipotenuzei BC . Determinați perimetrul triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 2 2x y x y xy x y∗ = + − − − .
5p 1. Arătați că ( )1 2 5− ∗ = .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „ ∗” este comutativă.
5p 3. Arătați că ( ) 2
3x x x− ∗ = , pentru orice număr real x .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care 1 3x ∗ = .
5p 5. Determinați perechile ( ),m n de numere naturale, cu m n< , pentru care m m n n∗ = ∗ .
5p 6. Determinați numerele reale x , 0x > , pentru care 1
lg lg 9lgx x
x
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 2 6
1 1
A − 
=  
− 
și 0 2
2
a
B a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că det 4A = .
5p 2. Pentru 6a = − , arătați că 22 4A B I− = .
5p 3. Determinați numerele reale x și y pentru care 2A A xA yI⋅ = + .
5p 4. Arătați că suma elementelor matricei B A⋅ nu depinde de a .
5p 5. Determinați numerele naturale a pentru care numărul ( )det A B+ este pătratul unui număr natural.
5p 6. Determinați numerele reale a pentru care ( )( )2 2B aI B aI aB+ − = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 1 1 1 1 10 2 1
: :
3 2 5 3 2 5 5 3 15 5
 
        
  3p
50 2 3 3
15
 
  2p
2.  1 1f   2p
3 4 5 4 8x x     , de unde obținem  2,x   3p
3.    3 2 1 5
2 2 3 2 1 5
x x x x
     3p
6 3 5x x  , de unde obținem 3x  2p
4. 25
5 27
100 x x    , unde x este prețul blocului de desen 3p
12x  lei 2p
5. 1
OAm a
 , 4
OB
a
m  , unde a este număr real, 0a  2p
21 4 0
4
a a
a     și, cum 0a  , obținem 2a  3p
6. Cum 1AC BC  , obținem  22 1 25BC BC   , de unde rezultă 13BC  și 12AC  3p
5 13 12 30ABCP AB BC CA        2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.        2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2              3p
1 4 2 2 4 5      2p
2. 2 2 2 2
2 2 2 2x y x y xy x y y x yx y x            3p
y x  , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ” este comutativă 2p
3.        2 2 2 2x x x x x x x x           3p
2 2 2 2
2 2 3x x x x x x      , pentru orice număr real x 2p
4. 2 2
1 1 2 2 3 1x x x x x x         , pentru orice număr real x 2p
2 2
3 1 3 3 4 0x x x x       , de unde obținem 1x   sau 4x  3p
5. 2 4m m m m   , pentru orice număr natural m 2p
  2 2
4 4 4 0m m n n m n m n        și, cum m și n sunt numere naturale cu m n ,
obținem perechile  0,4 sau  1,3 3p
6.   21
lg lg lg lg 3lgx x x x
x
     , pentru orice număr real x , 0x  2p
2
3lg 9lgx x , de unde obținem 1x  sau 1000x  , care convin 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
   
2 6
det 2 1 6 1
1 1
A 
       
 3p
2 6 4    2p
2. 0 12 2 6 0 12 4 0
2 2
2 6 1 1 2 6 0 4
B A B
         
             
          3p
2
1 0
4 4
0 1 I
 
  
  2p
3. 2 6
1 5
A A   
   
 
, 2
2 6x y x
xA yI x x y
  
   
  
, pentru orice numere reale x și y 3p
2 6 2 6
1 5
x y x
x x y
      
   
     
, de unde obținem 1x  și 4y   2p
4. 2 2
4 12
a a
B A a a
 
   
    , pentru orice număr real a 3p
     2 2 4 12 8a a a a         , pentru orice număr real a , deci suma elementelor
matricei B A nu depinde de a 2p
5.  
2 6 2 2 6 2
det 16 4
3 1 3 1
a a
A B A B a
a a
    
       
    
, pentru orice număr natural a 2p
   2
det 2 4A B a   este pătratul unui număr natural, de unde rezultă că 4 a este pătratul
unui număr natural și, cum a este număr natural, obținem 0a  sau 3a  sau 4a  3p
6.
   22 2
2
2 2 2 2
0 24 2
2 4 2
aa a a
B aI B aI aB B B a I aB a a a a
                   
, pentru orice
număr real a
3p
2 4 0a a  , de unde obținem 0a  sau 4a  2p