Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – 15 martie 2021, testul 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Testul 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 2 1
20 2 20 21 21 : 20 82
2
 
+ ⋅ ⋅ + + = 
  .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →  , ( ) 3 1f x x= −
și :g →  , ( ) 5g x x= +.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația ( )lg 1 9 2x− = .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare de două cifre au produsul cifrelor număr par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A − , ( )3,1B și ( )3, 3C − . Calculați aria
triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că ( )cos 60 5sin 30 sin150 1° ⋅ ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 1xy
x y x y∗ = + + − .
5p 1. Arătați că 1 3 11∗ = .
5p 2. Demonstrați că legea de compoziție „ ∗” este comutativă.
5p 3. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )1 1a a∗ = − ∗ − .
5p 4. Arătați că 1 3x x
∗ ≥ , pentru orice număr real x , 0x > .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )3 4 1 1x x x∗ = − ∗.
5p 6. Arătați că, pentru orice număr natural nenul n , numărul ( )1N n n= ∗ + este natural par.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1 2
3 2
a
A a a
 
=  
  , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 2 22A = − .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( ) 21 1 3 1 4A A A I⋅ − = .
5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det 52A x = − .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0aA A a a A− = − , pentru orice număr real a .
5p 5. Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( )( )det 1 2A m A+ = .
5p 6. Determinați numărul natural nenul n pentru care ( ) ( )
1 1
A n A A A n
n n
   
⋅ = ⋅   
    .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
( ) ( )22 2 21 41 2
20 2 20 21 21 : 20 20 21 : 41
2 2 41
 
+ ⋅ ⋅ + + = + = ⋅ = 
  3p
41 2 82= ⋅ = 2p
2. ( ) ( ) 3 1 5f x g x x x= ⇔ − = + 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 3x = , 8y = 2p
3. 1 9 100x− = 3p
11x = − , care convine 2p
4. ab este număr natural impar, de unde rezultă că b este cifră impară, deci sunt 5 modalități
de alegere a cifrei unităților 2p
Cum produsul numerelor a și b este număr par și b este cifră impară, obținem că a este
cifră pară nenulă, deci sunt 4 modalități de alegere a cifrei zecilor 2p
Sunt 4 5 20⋅ = de numere naturale impare de două cifre care au produsul cifrelor număr par 1p
5. Triunghiul ABC este dreptunghic în B cu 5AB = și 4BC = 3p
5 4 10
2 2
ABC
AB BC
∆
⋅ ⋅
= = =
 2p
6. 1
cos 60 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 1
sin150 2
° = 3p
( ) 1 1 1 1
cos 60 5sin 30 sin150 5 2 1
2 2 2 2
 
° ⋅ ° − ° = ⋅ ⋅ − = ⋅ = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 3
1 3 1 3 2 1⋅
∗ = + + − = 3p
4 8 1 11= + − = 2p
2. 2 1 2 1xy yx
x y x y y x∗ = + + − = + + − = 3p
y x= ∗, pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ∗” este comutativă 2p
3. 1 2 1 1 2 1a a
a a+ + − =− − + − 3p
2 2 1a a=− ⇔ =− 2p
4. 1 1 1
1 2 3x x x
x x x
 
∗ = + + = + − + = 
  3p
( )2
1 3 3
x
x
−
= + ≥, pentru orice număr real x , 0x > 2p
5. 2 2
3 4 1 3 4 1 2
3 2 1 4 1 1 2 1 2 2 3 4 1 0x x x x
x x x x x− −
+ + − = − + + − ⇔ = ⇔ − + = 3p
1
3
x = sau 1x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 2 din 2
6. ( ) ( ) ( )1 1
1 2 1 2 1 2 2
n n n n
N n n n n
+ +
= ∗ + = + + − = + , pentru orice număr natural nenul n 3p
Cum n este număr natural nenul, rezultă că numerele naturale 2n și ( )1
2n n+ sunt pare, deci
numărul ( )1N n n= ∗ + este natural par 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
1 4 1 4
2 det 2 1 2 4 6
6 2 6 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
2 24 22=− =− 2p
2.
( ) 1 2
1 3 2
A  
=  
  , ( ) ( ) 7 6
1 1 9 10
A A  
⋅ =  
  , ( ) 3 6
3 1 9 6
A  
=  
  3p
( ) ( ) ( ) 2
4 0
1 1 3 1 4
0 4
A A A I
 
⋅ − = = 
  2p
3. ( )( ) 21 2
det 2 6
3 2
x
A x x
x
= = −, pentru orice număr real x 3p
2
6 54 0x− + = , de unde obținem 3x = − sau 3x = 2p
4. ( ) ( ) 2 1 2 1 0
1 3 2 3 2 0 2 2
a a a a
aA A a a a a a
−     
− = − = =     
−      3p
( ) ( ) ( )
1 0
1 1 0
0 2
a a A
 
=− =− 
  , pentru orice număr real a 2p
5. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 2 2
1 det 1 6 12 2
3 3 4
m
A m A A m M m m
m
+ 
+ = ⇒ + =− − + 
+  , pentru orice număr
real m
3p
2
6 12 0m m− − = , de unde obținem 2m = − sau 0m = 2p
6.
( )
2
7 4
1
6
3 10
n
n
A n A n n n
 
+  
⋅ =   
   + 
 
, ( )
4
7 2
1
3 6 10
n
n
A A n
n n
n
 
+   ⋅ =   
   + 
 
, pentru orice număr
natural nenul n
2p
2 4
7 4 7 2 1
6 3
3 10 6 10
n n
n n n
n
n n
n n
   
+ +   
= ⇔ =   
   + +   
   
și, cum n este număr natural nenul, obținem
1n =
3p