Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor patru termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ în care 2 5a = și 3 8a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 3 8f x x= −. Determinați numerele reale a pentru care
( ) ( )1a f a f⋅ = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația ( ) ( )5 5log 25 log 5x x− = +.
5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifre din mulțimea
{ }2,3,5,9A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 2y x a= +, unde a este număr real.
Determinați numărul real a știind că punctul ( )2,3A aparține dreptei d .
5p 6. Arătați că ( )4sin 60 tg60 cos30 3° ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 1
1 3
A  
=  
− − 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 3 6
a a
B a  
=  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = − .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )1 1 3 4B B A B a⋅ − + = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ 
 cu proprietatea că ( ) ( )22 0X A I B⋅ − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2 1 2 1x y x y y x∗ = − + − +.
5p a) Arătați că 3 4 18∗ = .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care ( )2 13m n∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 5,f − +∞ →  , ( ) 2 7
5
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
3
'
5
f x
x
=
+
, ( )5,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f
este paralelă cu dreapta de ecuație 3 5y x= +.
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ →  , ( ) 2 2f x x x=− + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
2 8f x x dx+ =∫ .
5p b) Arătați că funcția f este o primitivă a funcției ( ): 0,g +∞ →  , ( ) 1x
g x x
−
= .
5p c) Calculați
( )
2
2
1
1 dx
f x
∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 13 2r a= ⇒ = , 4 11a = 3p
1 2 3 4 2 5 8 11 26a a a a+ + + = + + + = 2p
2. ( ) 3 8f a a= −, ( )1 5f = − 2p
( ) 2
3 8 5 3 8 5 0a a a a− =− ⇔ − + = , de unde obținem 1a = sau 5
3
a = 3p
3. 25 5x x− = + 2p
10x = , care convine 3p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 3 moduri, deci se
pot forma 4 3 12⋅ = numere 3p
5. 3 2 2 a= ⋅ + 3p
1a = − 2p
6. 3
sin 60 2
° = , tg60 3° = , 3
cos30 2
° = 3p
( ) 3 3 3
4sin 60 tg60 cos30 4 3 2 3 3
2 2 2
 
° ° − ° = ⋅ − = ⋅ =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2 1
det 2 3 1 1
1 3
A = = ⋅ − − ⋅ − =
− − 3p
6 1 5=− + =− 2p
b) ( ) 1 1
1 3 6
B  
=  
 
, ( ) ( ) ( )
1 1 2 5 6 3 8 8
1 1 1 3
3 6 15 33 3 9 12 24
B B B A
− −       
− = ⇒ − + = + =       
− −        3p
8 8 4
12 24 3 6
a a   
=   
   
, de unde obținem 2a = 2p
c) ( )2 2
0 1
2 det 2 1
1 5
A I A I
 
− = ⇒ − = 
− − 
, deci matricea 22A I− este inversabilă și
( ) 1
2
5 1
2 1 0
A I − − − 
− =  
 
3p
( ) ( ) 1
20 2X B A I −
= ⋅ − , de unde obținem 0 0
9 3
X  
=  
− −  2p
2.a) ( )( )3 4 2 3 4 1 2 4 3 1∗ = ⋅ − + ⋅ − + = 3p
3 6 18= ⋅ = 2p
b) ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1x y x y y x y x x y∗ = − + − + = − + − + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
y x= ∗, pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ”∗ este comutativă 3p
c) ( ) ( )( )2 4 1 2 2 1m n m n n m∗ = − + − +, pentru orice numere naturale m și n 2p
( )( )4 1 2 2 1 13m n n m− + − + = și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )2,8
sau ( )4, 4 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
( )2
2 5 2 7
'
5
x x
f x
x
+ − +
= =
+ 3p
( ) ( )2 2
2 10 2 7 3
5 5
x x
x x
+ − −
= =
+ +
, ( )5,x ∈ − +∞ 2p
b)
( )
7
2
2 7
lim lim lim 55 1
x x x
x
x x
f x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ +  = = =
+  
+ 
 
2p
7
2
lim 2
5
1
x
x
x
→+∞
+
= =
+
, deci dreapta de ecuație 2y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul
funcției f
3p
c) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),a f a este paralelă cu dreapta de ecuație
( )'3 5 3y x f a= + ⇔ = , ( )5,a ∈ − +∞ 2p
( )2
3 3
5a
=
+
și, cum ( )5,a ∈ − +∞ , obținem 4a = − 3p
2.a)
( )( ) ( )
3 3 2
1 1
3
2 2 2
2 1
x
f x x dx x dx x
 
+ = + = + =  
 
∫ ∫ 3p
21 5 8
2 2
= − = 2p
b) ( ) ( ) 1
2 2 1 2 0
2
f x x x x
′′ = − + = − ⋅ + = 3p
( )
1 1
1 x g x
x x
−
=− = = , pentru orice ( )0,x∈ +∞ , deci funcția f este o primitivă a funcţiei g 2p
c)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 22
1 1 1
211 1 arctg 1
2 2 11 1
x
dx dx dx x
x xf x x
′−
= = = − =
− + − +
∫ ∫ ∫ 3p
arctg1 arctg0 4
π
= − = 2p