Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 0,3 3, 2 : 4 1
3 ⋅ + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 6 4f x x= − . Determinați numărul real a , știind că punctul
( ), 2A a a aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2 2 16 4x x− + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2,3, ,9A =  , acesta să verifice
inegalitatea ( )( )2 6 0n n− − ≥ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,0A − , ( )1,8B − . Arătați că triunghiul OAM este
isoscel, știind că M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră pătratul ABCD astfel încât aria triunghiului ABC este egală cu 2 . Calculați perimetrul
pătratului ABCD .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 2
6 4
A − 
=  
−  și ( ) 2
7 4
x
B x x
 
=  
− −  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )( ) ( )( )det det 7 0B x B A+ − = .
5p c) Determinați matricea ( )2C ∈ 
 cu proprietatea că ( ) 14xA A B x C− ⋅ = , pentru orice număr real x .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 6 6 6 7x y xy x y∗ = − − +.
5p a) Arătați că 1 3 1∗ = .
5p b) Demonstrați că 7
6
e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați suma numerelor întregi m care verifică inegalitatea 1
2 3
m m 
∗ − ≥ 
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ →  , ( ) 3 3 4f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 2
2
3 1 1
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că funcția f este convexă.
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ →  , ( ) 2
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
0
1 4x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )3
1
f x dx
x∫ .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )
1
2
1
2
4 1 ln 3f x f x dx
−
⋅ − = −∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2 3 32 1
0,3 3, 2 : 4
3 3 10 10 4
⋅ + = ⋅ + ⋅ = 3p
1 4 1
5 5
= + = 2p
2. ( ) 2 6 4 2f a a a a= ⇔ − = 3p
1a = 2p
3. 2 2
2 16 16 2 0x x x x− + = ⇒ − = 2p
0x = sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care ( )( )2 6 0n n− − ≥ sunt 1, 2 , 6 , 7 , 8 și 9 , deci sunt
6 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 6 2
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 1p
5. ( )3, 4M − 2p
5OA = , 5OM = , deci triunghiul OAM este isoscel 3p
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în B , deci 2
2
AB BC⋅ = , și, cum AB BC= , obținem 2AB = 3p
4 8ABCDP AB= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
3 2
det 3 4 2 6
6 4
A −
= =− ⋅ − ⋅ − =
− 3p
12 12 0=− + = 2p
b) ( )( ) 2
det 4 14B x x x= − + , pentru orice număr real x 2p
Cum ( )( ) 10 0
det 7 10
1 1
B A− = =−
− − , obținem 2 4 4 0x x− + = , deci 2x = 3p
c) 3 2
6 4
x x
xA x x
− 
=  
− 
, ( ) ( )
3 14 2 14 14 14
6 28 4 28 28 28
x x
A B x xA A B x
x x
− − −   
⋅ = ⇒ − ⋅ =   
− − −   
, pentru orice
număr real x
3p
14 14 14
28 28 C
  = 
  , de unde obținem 1 1
2 2
C  
=  
  2p
2.a) 1 3 6 1 3 6 1 6 3 7∗ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p
18 6 18 7 1= − − + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 7 7 7
6 6 6 7 7 6 7 7
6 6 6
x x x x x x∗ = ⋅ − − ⋅ + = − − + =, pentru orice număr real x 2p
7 7 7
6 6 6 7 7 7 6 7
6 6 6
x x x x x x∗ = ⋅ ⋅ − ⋅ − + = − − + = , pentru orice număr real x , deci 7
6
e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗
3p
c) 2 7
2 3
m m m m
 
∗ − =− − + 
  , pentru orice număr întreg m 2p
2 2
7 1 6 0m m m m− − + ≥ ⇔ + − ≤ , de unde obținem [ ]3, 2m ∈ − , deci suma numerelor întregi
care verifică inegalitatea este egală cu ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3− + − + − + + + =− 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2
3
' 3 0f x x x
= − + = 3p
( ) ( )( )4 2 2
2 2
3 1 3 1 1x x x
x x
− − +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )' 0 1f x x= ⇔ = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]0,1 , ( )' 0f x ≥ , pentru orice
[ )1,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )1,x ∈ +∞ 3p
c) ( ) 3
6
'' 6f x x x
= + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcția f este convexă 3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
0 0
2
1 2 0
x f x dx xdx x+ = ==∫ ∫ 3p
4 0 4= − = 2p
b) ( ) ( )
3 3
1 1
312 2 2ln 1
1 1 1
x
dx dx x
x x
′+
= = + =
+ +∫ ∫ 3p
2ln 4 2ln 2 2ln 2= − = 2p
c)
( ) ( )
1 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1
24 1 1 1 1 1
4 4 1 4 ln
2 11 1 1 1
2
x x x
f x f x dx dx dx dx x xx x x
− − − −
− + −   
⋅ − = = = + = + =   + − − −  −
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( )
1 1 1 1 1
4 ln ln 3 4 1 ln 3
2 2 3 2 2
 
= + + − = − 
  2p