Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că media aritmetică a numerelor 2, 4a = și 2
4 5
b = − este egală cu 3 .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →  , ( ) 2 3f x x x= + cu
axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 1 2
2 32x− = .
5p 4. In urma unei ieftiniri cu 20% , prețul unui produs a scăzut cu 27 de lei. Determinați prețul
produsului înainte de ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 4A , ( )6, 4B și ( )0, 4C − . Știind că punctul D
este mijlocul segmentului AB , arătați că 2BC OD= .
5p 6. Se consideră numărul real 0, 2
x
π 
∈ 
  astfel încât 1
cos 5
x = . Arătați că tg 2 6x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1 1
x x
A x − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 4 7A = − .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )( )det 1 1 2 11A A A x⋅ + = .
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) ( ) ( )0 1 3A A x A A y⋅ ⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 20 21 1x y x y∗ = − +.
5p a) Arătați că 1 2 21∗ =− .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )1 1x x− ∗ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care 2 0x x∗ ≤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →  , ( ) ( )2 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 1 x
f x x e= − , x ∈  .
5p b) Calculați ( )
1
lim xx
f x
e e→
′
− .
5p c) Arătați că ( ) 1
2 1x
x e −
− ≤ , pentru orice x ∈  .
2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 5 2
2 1f x x x= + − .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
1
2f x x dx
−
− =−∫ .
5p b) Arătați că ( )4 5
2
2 6 ln 2
2 2
f x x dx
x
− −
=∫ .
5p c) Calculați ( )( )
1 24 2
0
x f x x dx−∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3,6b = 2p
2, 4 3,6 6 3
2 2
am +
= = = 3p
2. ( ) 2
0 3 0f x x x= ⇔ + = 2p
Abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox sunt 3x = − și 0x = 3p
3. 1 2 5
2 2 1 2 5x x− = ⇔ − = 3p
2x = − 2p
4. 20 27
100 x⋅ = , unde x este prețul înainte de ieftinire 3p
135x = de lei 2p
5. ( )0,0O este mijlocul segmentului AC 2p
OD este linie mijlocie în triunghiul ABC , deci 2
BC
OD = , de unde obținem 2BC OD= 3p
6. 2
2 21 24
sin 1 sin
5 25
x x
 
+ =⇔ = 
  și, cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 2 6
sin 5
x = 3p
2 6 1
tg : 2 6
5 5
x = = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
3 4 3 4
4 det 4 3 1 4 1
1 1 1 1
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − − ⋅ = 
− −  3p
3 4 7=− − =− 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1 1 2
1 1 2 det 1 1 2 1 2
1 0
x x
A A A x A A A x x
− − + 
⋅ + = ⇒ ⋅ + =− 
 
, pentru orice
număr real x
3p
1 2 11x− = , de unde obținem 5x = − 2p
c)
( ) ( ) ( ) 1
0 1 1 3
x
A A x A x
− 
⋅ ⋅ =  
+ −  , pentru orice număr real x 2p
1 3 3 3
1 3 3 3
x y y
x
− −   
=   
+ − −    , de unde obținem 2x = și 1
3
y = 3p
2.a) 1 2 20 1 21 2 1∗ = ⋅ − ⋅ + = 3p
20 42 1 21= − + =− 2p
b) ( )1 19x x x− ∗ =− − , pentru orice număr real x 2p
19 1x− − = , de unde obținem 20x = − 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 2 2
20 21 1x x x x∗ = − +, pentru orice număr real x 2p
2
20 21 1 0x x− + ≤ , de unde obținem 1 ,1
20
x  
∈  
  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )' 2x x
f x e x e= + − = 3p
( ) ( )1 2 1x x
x e x e= + − = − , x ∈  2p
b) ( ) ( )
1 1
1
lim lim
x
x xx x
f x x e
e e e e→ →
′ −
= =
− − 2p
1
lim 1
x
xx
xe
e→
= = 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = și ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],1−∞ ,
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )1,x ∈ +∞ 2p
( ) ( ) ( )1 2 x
f x f x e e≥ ⇔ − ≥ − , pentru orice x ∈  , de unde obținem ( ) 1
2 1x
x e −
− ≥ − , pentru
orice x ∈  , deci ( ) 1
2 1x
x e −
− ≤ , pentru orice x ∈  3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 6
2 5
1 1
1
2 1 3 1
x
f x x dx x dx x
− −
 
− = − = − =   − 
∫ ∫ 3p
2 4 2
3 3
=− − =− 2p
b) ( )4 45 2
2 2
42 1 1 ln
2 2 2 4 2 2
f x x x x
dx dx x
x x
 −  
= − = − =       
∫ ∫ 3p
1 1 6 ln 2
4 ln 4 1 ln 2
2 2 2
−
= − − + = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )351 12 24 5 5 5
0 0
12 11 1
2 1 2 1 2 1
10 10 3 0
x
x x dx x x dx −′
− = − − = ⋅ =∫ ∫ 3p
1 1 1 1
10 3 3 15
 
= + = 
  2p