Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 5 2
5 2 − =
− .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2
2 5 2f x x x= + + . Determinați numărul real a pentru care
( )f a a= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația ( )43log 3 1 6x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea { }4, 5, 6, 7, 8, 9A = , numărul 2
x să
fie număr impar.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )4,3B și ( ),C a b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a , b , știind că punctul A este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 9AB = și 12AC = . Determinați lungimea
înălțimii din A a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 4 2
3 2
A  
=  
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )2 2 22 4 6A I A I I− ⋅ − = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ 
 pentru care 3 4A X A X⋅ = + .
2. Pe mulțimea ( )0,M = +∞se definește legea de compoziție 12 3 3
x y xy x y x y
∗ = − + +
+ .
5p a) Arătați că 1 3 4∗ = .
5p b) Arătați că 2
x x x∗ = , pentru orice x M∈ .
5p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care ( ) ( ) 1n n n n∗ ∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2
2
2 2
f x x x
= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )22
4 1
'
2 2
x
f x
x x
−
=
− +
, x ∈  .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )lim 0
x a
f x f a
x a→
− =
− .
2. Se consideră funcția :f →  , ( ) ( ]
( )
2
2 1, ,0
1
, 0,x
x x
xf x
e x
 + ∈ −∞ += 
 ∈ +∞
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
4 3
1
1f x dx e e= −∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )
2
1
xf x dx∫ .
5p c) Determinați numărul real a , 0a > , știind că ( ) ( )
0
ln 1
a
f x dx a a
−
=− +∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
( )2
1 5 2
5 5
5 2 5 4
+
− = − =
− − 3p
5 2 5 2= + − = 2p
2. ( ) 2 2
2 5 2 2 5 2f a a a a a a= + + ⇒ + + = 2p
2
2 4 2 0a a+ + = , de unde obținem 1a = − 3p
3. ( ) 2
4log 3 1 2 3 1 4 3 1 16x x x+ = ⇒ + = ⇒ + = 3p
5x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 6 elemente, deci sunt 6 cazuri posibile 2p
Numerele x A∈ pentru care 2
x este număr impar sunt 5 , 7 și 9 , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 6 2
p = = = 1p
5. Mijlocul segmentului BC are coordonatele 4
2
a+ , respectiv 3
2
b+ ⇒ 4
2 2
a+
= , deci 0a = 3p
3
1 5
2
b b
+
− = ⇒ =− 2p
6. 15BC = 2p
9 12 7, 2
15
AB AC
h BC
⋅ ⋅
= = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 4 2
det 4 2 2 3
3 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
8 6 2= − = 2p
b) ( ) ( )2 2
2 2 0 2
2 4 3 0 3 2
A I A I   
− ⋅ − = =  
−   2p
2
6 0 6
0 6 I
 
= = 
  3p
c) 4 2 4 2
3 2 3 2
a c b d
A X a c b d
+ + 
⋅ =  
+ + 
și 12 4 6 4
3 4 9 4 6 4
a b
A X c d
+ + 
+ =  
+ + 
, unde a b
X c d
 
=  
 
, cu a , b , c
și d numere reale
3p
4 2 4 2 12 4 6 4
3 2 3 2 9 4 6 4
a c b d a b
a c b d c d
+ + + +   
=   
+ + + +   
, deci 7a = , 4b = , 6c = și 3d = , de unde obținem
7 4
6 3
X  
=  
 
2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) 12 3 3
1 3 1 3 1 3 1 3
∗ = ⋅ − + + =
+ 3p
3 3 3 1 4= − + + = 2p
b) 12 3 3
x x x x x x x x
∗ = ⋅ − + + =
+ 2p
2 2 26 3 3 6 6
x x x
x x x x x
= − + + = − + = , pentru orice x M∈ 3p
c) 2
n n n∗ = , ( ) ( ) 2 2 4
n n n n n n n∗ ∗ ∗ = ∗ = , pentru orice număr natural nenul n 3p
4 1n = și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
0 2 2 2 4 4
'
2 2 2 2
x x
f x
x x x x
− − −
= = =
− + − + 3p
( )
( )22
4 1
2 2
x
x x
−
=
− +
, x ∈  2p
b) ( )2 1f = , ( )' 2 1f = − 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )2 ' 2 2y f f x− = −, adică 3y x=− + 3p
c) ( ) ( ) ( )lim '
x a
f x f a f a
x a→
− =
− , pentru orice număr real a 2p
( ) ( )
( )22
4 1
' 0 0
2 2
a
f a
a a
−
= ⇔ =
− +
, de unde obținem 1a = 3p
2.a)
( )
4 4
1 1
4
1
x x
f x dx e dx e= = =∫ ∫ 3p
( )4 3 1e e e e= − = − 2p
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2
1
x x x x
xf x dx xe dx x e dx xe e
′
= = = − =∫ ∫ ∫ 3p
2 2
0e e= − = 2p
c)
Cum a este număr real, 0a > , obținem ( )
0 0
2
2 1
1a a
x
f x dx dx
x− −
 
= + = 
+ 
∫ ∫
( ) ( ) ( )
20 0 2 2
2
0 01 ' 1 ln 1 ln 1
1a a
x dx dx x x a a
x a a− −
+
= + = + + =− + +
+ − −
∫ ∫
3p
( ) ( )2 2
ln 1 ln 1a a a a a a− + = − + ⇒ = și, cum 0a > , obținem 1a = 2p