Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați termenul al cincilea al unei progresii geometrice ( ) 1n n
b ≥ , în care 1 3b = și 2 6b = − .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2
2 6 1 0x x− + = . Arătați că 1 2 1 26 0x x x x+ − = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 3
2 27 8 1x+ + = .
5p 4. După o scumpire cu 15% , un produs costă 92 de lei. Determinați prețul produsului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,0A − şi ( )9,B a , unde a este număr real.
Determinați numerele reale a pentru care distanța dintre punctele A și B este egală cu 13 .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 14AB AC= =și unghiul B de măsură egală cu 75° . Determinați
aria triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2
1 2
x x
A x − 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 3A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )( )21 3A x A A x I⋅ = − .
5p c) Arătați că ( ) ( )( )2
det 0xA x A x− ≥ , pentru orice număr real x .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 1
3
x y
x y xy +
∗ = − +.
5p a) Arătați că 1 5 14∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 3 52x∗ =− .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( )( ) 2
0 3 3
n
n n∗ ∗ ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →  , ( ) 3 2
2 6 18 49f x x x x=− − + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 3f x x x=− − + , x ∈  .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Se consideră punctele ( )( )2, 2A f− − și ( )( )0, 0B f . Arătați că tangentele la graficul funcției f în
punctele A și B au pantele egale.
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ →  , ( ) ln 2f x x x=+ − .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
ln 0f x x dx− =∫ .
5p b) Calculați ( )( )
1
2
e
f x x dx− +∫ .
5p c) Demonstrați că orice primitivă ( ): 0,F +∞ →  a funcției f este convexă.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Rația progresiei geometrice este 2q   2p
 44
5 1 3 2 48b b q     3p
2. 1 2 3x x  , 1 2
1
2
x x  2p
1 2 1 2
1
6 3 6 3 3 0
2
x x x x        3p
3. 3 27 8 1 27 8 1x x       3p
1
3
x   2p
4. 15 92
100
x x   , unde x este prețul produsului înainte de scumpire 3p
80x  de lei 2p
5. 2
144AB a  2p
2
144 13a  , de unde obținem 5a   sau 5a  , care convin 3p
6. Unghiul A are măsura egală cu 30 , deci 1
sin 2
A  2p
1
14 14
sin 2 49
2 2
AB AC A  
 
  
 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)       
1 1 1 1
1 det 1 1 2 1 1
1 2 1 2
A A
  
         
  3p
2 1 3   2p
b)     2 2 4
1 3 3
x x
A x A   
   
 
și   2
3 3 3 6
3 3 3
x x
A x I   
   
 
, pentru orice număr real x 3p
2 2 4 3 3 3 6
3 3 3 3
x x x x      
   
    , de unde obținem 1x  2p
c)
    2 2 2 2
2 0 2 22 2
1 2 22 1 2
xx x x x x
xA x A x x xx x
       
                 
, pentru orice număr real x 2p
         22
det 0 2 2 1 2 1 0xA x A x x x x         , pentru orice număr real x 3p
2.a) 1 5
1 5 3 1 5 1
3

       3p
15 2 1 14    2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 3 26
3 9 1
3 3
x x
x x 
     , pentru orice număr real x 3p
26 52
3
x   , de unde obținem 6x   2p
c)
       2
9 9 2
0 3 1 0 3 1 3
n n
n n n n n n   
            , pentru orice număr natural n 2p
2 29 9 2 2 9 7 2 0
3 3
n n n n n
         și, cum n este număr natural, obținem 0n  sau
1n 
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   2
' 6 12 18f x x x     3p
    2
6 2 3 6 1 3x x x x        , x   2p
b)  ' 0f x   3x   sau 1x  2p
   , 3 ' 0x f x     , deci f este descrescătoare pe  , 3  ,    3,1 ' 0x f x    ,
deci f este crescătoare pe  3,1 ,    1, ' 0x f x    , deci f este descrescătoare pe
 1, 
3p
c) Panta tangentei la graficul funcției f în punctul   2, 2A f  este    ' 2 6 3 1 18f        2p
Panta tangentei la graficul funcției f în punctul   0, 0B f este    ' 0 6 1 3 18f       ,
deci tangentele la graficul funcției f în punctele A și B au pantele egale 3p
2.a)
    
3 3 2
1 1
3
ln 2 2
2 1
x
f x x dx x dx x
 
       
 
  3p
9 1
6 2 0
2 2
 
     
  2p
b)
    
1 1
2 ln ln 1
e e e
f x x dx xdx x x x       3p
 0 1 1    2p
c) F este primitivă a funcției    f F x f x  ,  0,x   2p
    1
' 1 0F x f x x
     , pentru orice  0,x   , deci F este convexă 3p