Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 12
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 12
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că
2
2 1
: 3: 9 1
3 3
  − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 3 9f x x= −. Determinați abscisa punctului de intersecție a
graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2 4 8x x x− + = .
5p 4. După o ieftinire cu 8% , un produs costă 184 de lei. Determinați prețul produsului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A − , ( )4,1B , C și D . Știind că punctele C și
B sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv CD , determinați coordonatele punctului D .
5p 6. Se consideră 0, 2
x
π 
∈ 
  astfel încât cos tg sin
3
x x
π
= ⋅. Arătați că 1
sin 2
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și 3 6
1 2
A  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Arătați că 5A A A⋅ = .
5p c) Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( )( )2det 1 0xA x I+ − ≥ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
3x y xy x y∗ = − − .
5p a) Arătați că 1 2 1∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 2 1x∗ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) 3 23 3 1x x x∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ →  , ( ) 2 2
x
f x x x
= −
+ .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )2
2 1 3
'
2
x x
f x
x
+ +
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f .
2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2
2
5
1
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3 2
0
1 24x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )( )
1
0
1f x dx−∫ .
5p c) Arătați că orice primitivă F a funcției f este concavă pe [ )0, +∞ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 12
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
2 1 4 3 1
: 3:9 3
3 3 9 1 9
        
  3p
4 1 1
3 3
   2p
2.   0 3 9 0f x x    3p
3x  2p
3. 2 2 2
4 8 4 8x x x x x x       2p
4 8 0x   , de unde obținem 2x  , care convine 3p
4. 8 184
100
x x   3p
200x  de lei 2p
5.  1,2C 2p
1
4 2
Dx
 , 2
1 2
Dy
 , unde  ,D Dx y sunt coordonatele punctului D , deci 7Dx  și 0Dy  3p
6. tg 3 cos 3 sin
3 x x
    2p
 22 2 1
sin 3 sin 1 sin 4
x x x    și, cum 0, 2
x
 
 
  , obținem 1
sin 2
x  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 6
det 3 2 6 1
1 2
A       3p
6 6 0   2p
b) 3 6 3 6 9 6 18 12 15 30
1 2 1 2 3 2 6 4 5 10
A A        
          
        3p
3 6
5 5
1 2 A
 
  
  2p
c)
     2
2 2
2 1 6
1 det 1 4 3 1
1
x x
xA x I xA x I x x
x x
 
          
  , pentru orice număr real x 3p
2
4 3 1 0x x    , de unde obținem 1 ,1
4
x  
  
  2p
2.a) 2 2
1 2 3 1 2 1 2       3p
6 1 4 1    2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 2
2 6 4x x x    , pentru orice număr real x 2p
2 2
6 4 1 6 5 0x x x x       , de unde obținem 1x  sau 5x  3p
c)  3 3 32 2 43 3 3 3
x x x x x x x      , pentru orice număr real x 2p
3 4 4
1 1x x   , de unde obținem 1x   sau 1x  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
     
2
2 2
2 2 8 6
2
2 2
x x x x
f x
x x
   
    
  3p
 
 
  
 
2
2 2
2 4 3 2 1 3
2 2
x x x x
x x
   
 
 
,  2,x    2p
b)  ' 0 1f x x    2p
 ' 0f x  , pentru orice  2, 1x f    este descrescătoare pe  2, 1  ,  ' 0f x  , pentru
orice  1,x f    este crescătoare pe  1,  3p
c)   1
lim lim 2 2
2x x
f x
x x 
 
   
  2p
  lim 2 lim 1
2x x
x
f x x x 
 
     
  , deci dreapta de ecuație 2 1y x  este asimptotă
oblică spre  la graficul funcției f
3p
2.a)
     
3 3 3
2 2
0 0
3
1 5 5
3 0
x
x f x dx x dx x
 
       
 
  3p
9 15 24   2p
b)
  
1 1
2
0 0
14
1 4arctg
1 0
f x dx dx x
x
   

  3p
4arctg1 4arctg0
   2p
c) F este primitivă a funcției    f F x f x  , x  ℝ 2p
   
 22
8
' 0
1
x
F x f x
x

   

, pentru orice  0,x   , deci F este concavă pe  0, 3p