Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )
2
3 5 5 6 2 5 4+ − + = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →  , ( ) 5 1f x x= +și :g →  , ( ) 3 1g x x= −. Determinați abscisa
punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 4 3
2 4x x+ +
= .
5p 4. Un produs costă 360 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 15% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A − , ( )1, 4B − − și ( )5, 4C . Arătați că triunghiul
AMC este dreptunghic, unde M este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , în care unghiurile A și B au măsurile egale cu 30° , respectiv 45°
și 4BC = . Determinați lungimea laturii AC a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 4
2 3
A − 
=  
− 
și 1
1 1
x
B − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care B B A⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det det 0B B A+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 16x y x y= + + .
5p a) Arătați că ( )8 2 10− = .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numărul real x pentru care pentru care 3 2
2
x
x x x
 
+ = 
 
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ →  , ( ) 2
2 ln 2f x x
x
= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
3
2 2
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că ( )2
31
lim 1
1x
x f x
x→ = −
− .
2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2 1f x x= −.
5p a) Arătați că ( )
1
0
2
3
f x dx = −∫ .
5p b) Arătați că ( )( ) 3
1
2 1
1 ln 9
e e
f x xdx +
+ =∫ .
5p c) Determinați numărul real, a , ( )0,a ∈ +∞ , pentru care ( ) ( )( )
3
0
sin cos tg lnf x f x xdx a
π
+ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.    
2
3 5 5 6 2 5 9 6 5 5 6 5 10         3p
14 10 4   2p
2.     5 1 3 1 2 2f x g x x x x        3p
Abscisa punctului de intersecție este 1x   2p
3.  2 34
2 2 4 2 6
xx x x
      3p
2x   2p
4. 15
360 360
100
   2p
360 54 414   lei 3p
5.  2,0M 2p
3
4
AMm   , 4
3
MCm  , de unde obținem 1AM MCm m   , deci triunghiul AMC este
dreptunghic
3p
6. 1
sin 30 2
  , 2
sin 45 2
  2p
4 4 2
1sin sin 2
2 2
BC AC AC AC
A B
     3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)    
3 4
det 3 3 4 2
2 3
A 
       
 3p
9 8 1   2p
b) 1 2
2 1
x x
B B x
  
   
   , pentru orice număr real x 3p
1 2 3 4
2 1 2 3
x x
x
     
   
      , de unde obținem 2x  2p
c)    23 2 5 4
det 1 det det 2 1 3 2
x x
B x B B A x x
x x
  
       
   , pentru orice număr real x 3p
2 0x x   , de unde obținem 0x  sau 1x  2p
2.a)  8 2 8 2 16     
 3p
6 16 10    2p
b) x e x
 , pentru orice număr real x , de unde obținem 16e   2p
16 16 16x x x     
 , pentru orice număr real x , deci 16e   este elementul neutru al legii
de compoziție „ ”
 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 3 5
3 19 3 35
2 2 2 2
x x x x
x x x
   
         
   

 
 
 , pentru orice număr real x 3p
5 35 2
2
x x  , de unde obținem 70x   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   3
4 1
' 0f x xx
     3p
  2
3 3
2 24 x xx
x x
 
  ,  0,x   2p
b)  1 0f  ,  1 3f    2p
Ecuația tangentei este     1 1 1y f f x   , adică 3 3y x   3p
c)
   
 
2 22 2 2
3 31 1 1 3
2 ln 22 ln 2
lim lim lim
1 1 1
x x x
x x xx f x x x x
x x x
  

  
  
  
2p
2
2 21 1
1
0 2 ln 4 2 ln 3
lim lim 1
3 0 3x x
x x x x x x xx
x x 
    
   

3p
2.a)
   
1 1 3
2
0 0
1
1 3 0
x
f x dx x dx x
 
      
 
  3p
1 2
1
3 3
    2p
b)
   3 3 3
2
1 1 1
1 ln ln ln ln
3 3 9 1
e e e ex x x
f x xdx x xdx xdx x
   
           
   
   3p
3 3 3
1 2 1
3 9 9 9
e e e 
    2p
c)     2 2 2 2
sin cos sin 1 cos 1 sin cos 2 1f x f x x x x x          , pentru orice x  ℝ ,
        
3 3
0 0
3 1
sin cos tg tg ln cos ln cos ln cos0 ln
3 20
f x f x xdx xdx x


  
       
 
  3p
1
ln ln
2 a , de unde obținem 1
2
a  , care convine 2p