Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – 15 martie 2021, testul 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 8,5 10,5 : 3,5 20⋅ + = .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )2, 2A − aparține graficului funcţiei :f →  ,
( ) 3 1f x x a=− + + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 6 2 2
10 100x− = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }10,20,30, 40,50,60,70,80,90M = ,
numărul 10n să fie rațional.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A − și ( )3,B a , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , știind că dreptele OA și AB sunt perpendiculare.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 12AB = , 8BC = și unghiul C de măsură egală cu 30° . Calculați
sin A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 4 5
0 1
A − − 
=  
 
și 1 6
1 2
B  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 4B = − .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( )A A B B a A B⋅ − ⋅ = + .
5p c) Arătați că, pentru orice număr real x , matricea ( ) 2C x xA B= + este inversabilă.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( ) 1
2 1 2 1 2
x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 1 1
2 2 2
∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) 1
4 25
4
x ∗ = .
5p c) Calculați 1 1 1 1
1 2 3 4 5
∗ ∗ ∗ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 3,f − +∞ →  , ( ) 4
3
f x x x
= ++ .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )2
1 5
'
3
x x
f x
x
+ +
=
+
, ( )3,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )2 1x f x+ ≥ , pentru orice ( )3,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcția :f →  , ( ) ( )( )2 1 1f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )5
1
20
1
f x dx
x =
+∫ .
5p b) Calculați ( )2
2
1
f x dx
x
∫ .
5p c) Determinați numărul real a , 1 , 2
2
a  
∈ 
  , știind că ( ) ( )
2
' 18
a
f x f x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 8,5 10,5 : 3,5 17 105 : 35⋅ + = + = 2p
17 3 20= + = 3p
2. ( )2 2 6 1 2f a= − ⇒ − + + = − 3p
3a = 2p
3. 6 2 4
10 10 6 2 4x x− = ⇔ − = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70, 80,90M = are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele n M∈ pentru care numărul 10n este rațional sunt 10 , 40 și 90 , deci sunt 3
cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 1p
5. 2OAm = − , 2
4
AB
a
m −
= 2p
2
1 2 1
4
OA AB
a
m m −
⋅ = − ⇔ − ⋅ = − , de unde obținem 4a = 3p
6. 12 8
1sin sin sin
2
AB BC
C A A
= ⇔ = 3p
1
8 12sin 12 3
A
⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 6
det 1 2 1 6
1 2
B = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 6 4= − =− 2p
b) 16 15
0 1
A A  
⋅ =  
 
, 7 18
3 10
B B  
⋅ =  
 
, 9 3
3 9
A A B B − 
⋅ − ⋅ = = 
− −  3p
( )
3 1
3 3
1 3 A B
− 
=− =− + 
 
, deci 3a = − 2p
c) ( ) ( )( ) 24 2 5 12 det 4 4 16
2 4
x x
C x C x x x
x
− + − + 
= ⇒ =− − − 
+ 
, pentru orice număr real x 2p
( )( ) ( )2
det 2 1 15 0C x x=− + − < , deci ( )( )det 0C x ≠ adică matricea ( )C x este inversabilă
pentru orice număr real x 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( )
1 1 1
2 2 2 1 2 1
2 2 2
 
∗ = ⋅ − ⋅ − + = 
  3p
1 1
0 2 2
= + = 2p
b) ( ) 1 2 8
4 4 2
x
x −
∗ = , pentru orice număr real x 3p
2 8 25
2
x− = , de unde obținem 6x = − 2p
c) 1 1
2 2
x ∗ = , 1 1
2 2
y∗ = , pentru orice numere reale x și y 2p
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 2 3 4 5 2
   
∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =   
    3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2
4
' 1
3
f x
x
−
=+ =
+ 3p
( )
( )
( )( )
( )
2
2 2
3 4 1 5
3 3
x x x
x x
+ − + +
= =
+ +
, ( )3,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )
( )
4
lim lim 1 1
3x x
f x
x x x→+∞ →+∞
 
= + =  + 
2p
( )( ) 4
lim lim 0
3x x
f x x x→+∞ →+∞
− = =
+ , deci dreapta de ecuație y x= este asimptotă oblică la
graficul funcției f
3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ =− și ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]3, 1x f∈ − − ⇒ este descrescătoare pe
( ]3, 1− − , ( )' 0f x ≥ pentru orice [ )1,x f∈ − +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )1,x ∈ − +∞ 3p
( ) ( ) ( )1 1f x f f x≥ − ⇔ ≥ , pentru orice ( )3,x ∈ − +∞ și, cum 2 0x ≥ , obținem ( )2 1x f x+ ≥ ,
pentru orice ( )3,x ∈ − +∞ 2p
2.a) ( )( ) ( ) ( )
5 5 2
1 1
52 1 1 2 1
1 1
x x dx x dx x x
x
− + = − = − =
+∫ ∫ 3p
20 0 20= − = 2p
b) 2 22
2 2
1 1
22 1 1 1 1
2 2 ln
1
x x dx dx x x
x xx x
+ −    
= + − = + + =     
∫ ∫ 3p
3 ln 2
2
= + 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2
' 18
3 3a
f x f x f a f a
f x f x dx a
= = −∫ 3p
( ) 0f a = și, cum a este număr real cu 1 , 2
2
a  
∈ 
  , obținem 1
2
a = 2p