Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – 15 martie 2021, testul 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Testul 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )12 3 3 2 8 3 3 2 2− + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →  , ( ) 2 2f x x x a= − + , unde a este număr real. Determinați numerele
reale a pentru care ( ) 2f a = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 9 3x x− = − .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre,
acesta să fie multiplu de 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,1A − și ( )2,3B − . Determinați distanța de la
punctul O la punctul M , unde M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC cu 12AB = și ipotenuza 20BC = . Calculați aria
triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 3
1 4
A − 
=  
− 
și ( ) 3
4
x
B x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 1A = − .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A⋅ = ⋅ .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 0aA B a+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
x y x xy y∗ = + + .
5p a) Arătați că ( )2 1 3∗ − = .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p c) Determinați numărul natural n pentru care 48n n∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ →  , ( ) 2
3 5ln 1f x x x x= − − +.
5p a) Arătați că ( ) ( )( )1 6 5
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )
( )
5ln 1
lim ' 2x
f x x
x f x→+∞
+ = .
5p c) Demonstrați că ( )2 5
3 2 lnx x x− − ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ →  , ( ) 2 1
2
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
1
2 6x f x dx
−
+ =∫ .
5p b) Calculați ( )
4 2
0 2
x
f x dx
x
 
−  + 
∫ .
5p c) Determinați numărul natural n , știind că ( ) ( )
6 2 2
0
9 1x f x dx n− + =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )12 3 3 2 8 3 3 2 36 3 24 3 24 16− + − = − + − = 3p
6 4 2= − = 2p
2. ( ) 2 2f a a a a= − + , deci 2 2 0a a− − = 3p
1a = − sau 2a = 2p
3. 2
9 6 9x x x− = − + 3p
0x = , care nu convine; 5x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale pare de două cifre are 45 de elemente, deci sunt 45 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale pare de două cifre, care sunt multipli de 5 , sunt 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 ,
70 , 80 , 90 , deci sunt 9 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 45 5
p = = = 1p
5. ( )4, 2M − 3p
20 2 5OM = = 2p
6. Triunghiul ABC este dreptunghic, deci 2 2 16AC BC AB= − = 2p
12 16 96
2 2
ABC
AB AC
A∆
⋅ ⋅
= = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
1 3
det 1 4 1 3
1 4
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
4 3 1=− + =− 2p
b) ( ) 2 9
3 13
x
A B x x
− − 
⋅ =  
− − 
, ( ) 3 3 12
4 3 16
x x
B x A x x
+ − − 
⋅ =  
+ − − 
, pentru orice număr real x 3p
2 9 3 3 12 1
3 13 4 3 16
x x x x
x x x
− − + − −   
= ⇔ =−   
− − + − −    2p
c) ( ) ( )( ) 22 3 3 det 2 2
2 4 4
a a
aA B a aA B a a a
a a
− + 
+ = ⇒ + =− + 
− + 
, unde a este număr real 3p
2
2 2 0a a− + = , de unde obținem 0a = sau 1a = 2p
2.a) ( ) ( ) ( )22
2 1 2 2 1 1∗ − = + ⋅ − + − = 3p
4 2 1 3= − + = 2p
b) 2 2 2 2
x y x xy y y yx x∗ = + + = + + = 3p
y x= ∗, pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 2 2 2 2
48 16n n n n+ + = ⇔ = 3p
4n = − , care nu convine; 4n = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 5
' 6 1f x x x
= − − = 3p
( )( )2 1 6 56 5 x xx x
x x
− +− −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( )
( ) ( )( )
2
2 2
2
1 1
3
5ln 3 1
lim lim lim 1 5' 1 6 5 1 6
x x x
x
f x x x x x x
x f x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
− + + − +  = = =
− +   
− +  
  
3p
3 1
1 6 2
= =
⋅ 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = și ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]0,1 ,
( )' 0f x ≥ pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )1,x ∈ +∞ 3p
( ) ( ) ( )1 3f x f f x≥ ⇔ ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , de unde obținem 2
3 2 5lnx x x− − ≥ , deci
( )2 5
3 2 lnx x x− − ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 3
2
1 1
2
2 1 3 1
x
x f x dx x dx x
− −
 
+ = + = + =  
  −
∫ ∫ 3p
14 4 6
3 3
= + = 2p
b)
( ) ( )
4 42
0 0
4
1 ln 2
2 2 0
x
f x dx dx x
x x
 
− = = + =  + + 
∫ ∫ 3p
ln 6 ln 2 ln 3= − = 2p
c)
( )( ) ( )
6 62 4 3
3 2 2
0 0
6
2 2
3 3 4 6 2 6 144
3 4 3 0
x x x x
x x dx x x x dx x x
x
 + +
− + = − − − = − − − =  +  
∫ ∫ 3p
2 144n = și, cum n este număr natural, obținem 12n = 2p