Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – 15 martie 2021, testul 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 1
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică
Testul 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice 
1n n
a  în care3 7a  și7 15a  .
5p 2. Se consideră funcția:f  ,( ) 3 5f x x  . Determinați mulțimea valorilor reale ale luix
pentru care( ) 2 (1) 4f x f  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia81 3.x 
5p 4. Calculați2
6
3
A
P .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele 
0,3A ,(0, 5)B și(4, 1)C  . Arătați că
triunghiulACB este dreptunghic isoscel.
5p 6. Arătați căo
o o
tg60 2
ctg30 cos 45 
 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele2
2
1
3
A  
 
 
  și2
1
0
0
1
I  
 
 
 .
5p a) Arătați cădet 1A   .
5p b) Demonstrați că2A A I  .
5p c) Determinați matricea 
2X  astfel încât2 2021AX I A  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție5 5 30x y xy x y    .
5p a) Arătaţi că5 2021 5 .
5p b) Demonstrați că  
5 5 5x yx y    , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Determinați numerele întregim șin pentru care2 16m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f  , 
 
2 8 x
f x x e  .
5p a) Arătaţi că    
' 2 4 x
f x x x e   ,x  .
5p b) Calculați 
'
2
lim 2x
f x
x  .
5p c) Demonstrați că2 2
8 4 x
x e 
  , pentru orice număr realx .
2. Se consideră funcţia 
: \ 1 f , 
1
1
x
f x x

  .
5p a) Arătați că  
2
1
1
1 2
f x x dx  .
5p b) Arătați că 
3
2
9
1 ln 16
  f x dx .
5p c) Determinați numărul real1a  astfel încât   
'
1
1
8

a
f x f x dx .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.7 3 4a a r  2p15 7 4 2r r   
3p
2. 
3 5 2 2 4x     
2p5
3 5 ,
3
 
    
 
x x
3p
3.4
3 3x  2p1
4 1 4
  x x
3p
4. 
2
6
6! 30
6 2 !
A  

2p3 3!P
,3 6P ,2
6
3
5
A
P  3p
5.       
2 2 2 2
0 0 5 3 8, 4 0 1 3 4 2           AB AC
și   2 2
4 0 1 5 4 2BC       3p
Cum2 2 2
 AB AC BC , triunghiulACB dreptunghic și cumAC BC ,ACB este dreptunghic
isoscel 2p
6.o
o o
tg60 3
2ctg30 cos 45 3 2

 
= 3p2 2
2
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 
2 1
det 2 ( 2) 3 1
3 2
A       
  = 3p4 3 1    
2p
b)2 1
2 6 6 3 4
1 2 4 3 2 2
3 2 3
A A     
    
        
 
  
   = 3p2
1 0
0 1
 
  
 
I
2p
c)2 2021AX I A 2 2021 AX I A . MatriceaA este inversabilă și1 A A de unde rezultă că1 1 1
2 2021  
      A A X A I A A22021  X A I 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Pagina 2 din 2
Deci2023 1
3 2019
 
  
 
X 2p
2.a)5 2021 5 2021 5 5 5 2021 30       = 3p25 30 5   5
2p
b)5 5 25 5 ( 5) 5( 5) 5          x y xy x y x y y 3p( 5)( 5) 5x y   
, pentru orice numere realex șiy 2p
c) 
 
2 2
16 5 5 11m n m n    
și, deoarece,5 ,n  2 5m   obținem2 5 11
5 1
m
n
  
   sau2 5 1
5 11
m
n
  
  
sau2 5 11
5 1
m
n
   
    sau2 5 1
5 11
m
n
   
   
3p
Cumm șin sunt numere întregi, obținem soluțiile4
6
m
n

  ,4
6
m
n
 
  ,2
6
m
n

   ,2
6
m
n
 
   2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 
 
2
' 2 8   x x
f x xe x e 3p 
  
2 2 8 2 4x x
e x x e x x     
, pentru orice număr realx 2p
b) 
'
2 2 2
( 2)( 4)
lim lim lim ( 4)
2 2
x x
x x x
f x e x x e x
x x  
 
  
 
= 3p
=2
6e 2p
c)2 8
lim ( ) lim 0 

 xx x
x
f x e ,' ( ) 0,f x pentru orice( , 4]  xf este crescătoare și( ) 0f x
pe( , 4]  ;' ( ) 0f x , pentru orice 
4,2 xf este descrescătoare și( ) (2)f x f
pe 
4, 2 ;' ( ) 0f x pentru orice[2, ) xf este crescătoare și( ) (2)f x f pe[2, )
,2
(2) 4 0  f e
3p
Obținem că2
( ) 4 f x e pentru orice număr realx2 2
( 8) 4  x
x e e , de unde rezultă2 2
8 4 
  x
x e
, pentru orice număr realx
2p
2.a)      
2 2 2
1 1 1
1
1 1 1
1

     
  
x
f x x dx x dx x dx
x
3p
=2
2
1
1 1
0
2 2 2
x x
 
     
  2p
b) 
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 2 2
1
1 1 1
x x
f x dx dx dx dx
x x x
    
    
   
   
= 2p
= 
3
2
9
2ln 1 1 ln 16
x x   ∣ ∣ 3p
c)     
2
2'
1
1
1 1 1
( )
2 2 1
a a a
f x f x dx f x a
 
   
 

, unde1a 3p2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 1 8 1 4 1 2
a a a
a a a
     
        
     
, obținem3a  , care convine 2p