Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice( )
1n n
a  , știind că3 5a = şi5 11a = .
5p 2. Se consideră funcţia( )
2
: , 1f f x x→ = + . Determinaţi numărul reala știind că( ) ( )
1f a f a= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 13 1x x x− + = + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifrele strict mai mici decât3 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )
2,4A ,( )
1,1B − şi( )
3,C a , undea este număr
real. Determinaţi numărul reala pentru care drepteleOC șiAB sunt perpendiculare.
5p 6. Arătaţi că, pentru orice număr realx ,cos cos cos
3 3
x x x


   
+ + − =   
    .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea( )
1 5 2
10 1 4
x x
A x x x
+ − 
=  
−  , undex este număr real.
5p a) Arătați că( )
( )
det 1 2A = .
5p b) Demonstraţi că( ) ( ) ( )
A x A y A x y xy = + + , pentru orice numere realex şiy .
5p c) Determinaţi perechile de numere întregi( )
,m n pentru care matricea( )
A m este inversa matricei( )
A n
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie2x y xy x ay= + + , undea este
număr real.
5p a) Arătați că1 0 1= , pentru orice număr reala .
5p b) Determinaţi numărul reala , știind că1 4x  dacă și numai dacă( )
3,x  + .
5p c) Arătaţi că legea de compoziţie „ ” este asociativă dacă şi numai dacă1
2
a = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia:f → ,( )
x
x
f x e
= .
5p a) Arătaţi că( ) ( )
( )
' 1x
e f x f x+ = , pentru orice număr realx .
5p b) Determinaţi ecuația asimptotei orizontale spre+ la graficul funcţieif .
5p c) Demonstrați că dreapta de ecuațiey x= este tangentă la graficul funcţieif .
2. Se consideră funcţia:f → ,( )
sinf x x= .
5p a) Arătaţi că( )
0
2f x dx

= .
5p b) Calculaţi( )
0
xf x dx

 .
5p c) Arătaţi că( ) ( )
1 1 2
0 0
f x dx f x dx  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.3 5
4
5 11
2 2
a a
a + +
= = = 3p8=
2p
2.( )
22 2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 0a a a a a a+ = + +  + = + +  + = 3p1
2
a = −
2p
3.2 2
13 2 1 3 12x x x x x− + = + +  = 3p4x =
, care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Cifra zecilor poate fi aleasă în2 moduri, iar pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra
unităţilor se poate alege în câte3 moduri, deci sunt2 3 6 = cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 6 1
nr. cazuri posibile 90 15
p = = =
1p
5.1ABm = și3
OC
a
m = , undea este număr real 2p1 1
3
AB OC
a
OC AB m m⊥   = −  = −
, de unde obținem3a = − 3p
6.cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3 3 3
x x x x x x






   
+ + − = − + + =   
    2p1
2cos cos 2 cos cos
3 2
x x x

= =   =
, pentru orice număr realx 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )
( )
6 2 6 2
1 det 1
10 3 10 3
A A
− − 
=  = = 
− −  2p( ) ( )6 3 10 2 2=  − −  − =
3p
b)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 5 1 5 20 2 1 5 2 1 4
10 1 5 10 1 4 20 1 4 1 4
x y xy y x x y
A x A y x y y x xy x y
 + + − − + − − 
 = = 
+ + − − + − − 
3p( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 5 21 5 5 5 2 2 2
10 1 410 10 10 1 4 4 4
x y xy x y xyx y xy x y xy A x y xy
x y xy x y xyx y xy x y xy
 + + + − + + + + + − − − 
= = = + +   + + − + ++ + − − −   
,
pentru orice numere realex şiy
2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 0 0A m A n A m A n I A m n mn A m n mn
− =  =  + + =  + + = , undem şin
sunt numere întregi,1m  − şi1n  −
3p( )( )
1 1 1 1 1mn m n m n+ + + =  + + =
și, cumm şin sunt numere întregi, obținem2m n= = −
sau0m n= = , deci perechile sunt( )
2, 2− − şi( )
0,0 , care convin 2p
2.a)1 0 1 0 1 2 0a=  + +   = 3p0 1 0 1= + + =
, pentru orice număr reala 2p
b)( )
1 4 2 4 2 4 2 2 2 ,x x x a x a x a x a  + +    −   −   − + 3p2 3a− =
, deci1a = − 2p
c) Legea de compoziţie „ ” este asociativă( ) ( )
x y z x y z = , pentru orice numere realex
,y şiz ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2xy x ay z xy x ay az x yz y az x a yz y az+ + + + + + = + + + + + + 2p
Obținem( )( )
2
2 2 4 2 1 2 0xz az axz a z z x a a+ = +  + − = , pentru orice numere realex şiz ,
deci1
2
a = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )
2 2
11 1
'
xx x
x x x
e xe x e x
f x e e e
− −  −
= = =
,x  3p( ) ( )
( )
1
' 1x x
x x
x x
e f x f x e e e
− 
+ = + = 
 
, pentru orice număr realx 2p
b)( )
1
lim lim lim 0x xx x x
x
f x e e→+ →+ →+
= = = 3p
Dreapta de ecuație0y = este asimptota orizontală spre+ la graficul funcţieif 2p
c)( )
0f x x x=  = 2p
Cum( )
0 0f = și( )
' 0 1f = , tangenta la graficul funcţieif în punctul de abscisă0x = are
ecuaţia( ) ( )( )
0 ' 0 0y f f x− = − , deci este dreapta de ecuațiey x= 3p
2.a)( )
0 0
sin cos 0
f x dx xdx x



= = − = 
3p( )
cos cos0 1 1 2

= − + = − − + =
2p
b)( ) ( )
0 0 0 0
'sin cos cos cos
0
xf x dx x x dx x x dx x x xdx





= = − = − + =   
3p( )
cos sin 1 0 0
0
x

 


= − + = −  − + − =
2p
c)( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
sin 1 sinf x dx f x dx f x f x dx x x dx− = − = −   
2p
Pentru orice  ( ) ( )
1
0
0,1 , sin 1 sin 0 sin 1 sin 0x x x x x dx −   −  , deci( ) ( )
1 1 2
0 0
f x dx f x dx  3p