Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 2 2b = și 3 4b = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5 3f x x x= − + . Determinați produsul absciselor punctelor în
care graficul funcţiei f intersectează axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2 1x x+ = − .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să aibă toate cifrele pare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A , ( )1,0B − şi ( ), 2C a a + , unde a este
număr real. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii OC
 și AB
 sunt coliniari.
5p 6. Arătaţi că sin sin sin
3 3
x x x
π
π   
+ + − =   
    , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
2 3
a a
A a a a
+ 
=  
+ + 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2A = − .
5p b) Arătaţi că matricea ( )A a este inversabilă, pentru orice număr real a .
5p c) Demonstraţi că, dacă a şi b sunt numere întregi și ( )2X ∈ ℝ
M astfel încât ( ) ( )A a X A b⋅ = ,
atunci elementele matricei X sunt numere întregi.
2. Pe mulţimea ( )0,A = +∞ se definește legea de compoziţie 2 2x y
x y y x
= + .
5p a) Arătaţi că numărul 2 4a =  este întreg.
5p b) Arătaţi că 4x y ≥ , pentru orice ,x y A∈ .
5p c) Arătaţi că legea de compoziţie „  ” nu admite element neutru.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ) ( ): 1,1 1,f − ∪ +∞ → ℝ , ( ) 1 1
1 1
f x x x
= −
− + .
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )2 2
4
'
1 1
x
f x
x x
−
=
− +
, ( ) ( )1,1 1,x ∈ − ∪ + ∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul în care graficul intersectează axa Oy .
5p c) Calculați ( )
( )
lim 1x
f x
f x→+∞ + .
2. Se consideră funcţia ( ): 4,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
4
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
0
4 6x f x dx+ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )
1
0
f x dx∫ .
5p c) Arătaţi că ( )
0
1
n x
f x e dx− <∫ , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2q = , unde q este rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ 2p
1 1b = , deci 1 2 3 7b b b+ + = 3p
2. ( ) 2
0 5 3 0f x x x= ⇔ − + = 2p
Cum 0∆ > , graficul funcţiei f intersectează axa Ox în două puncte distincte pentru care
produsul absciselor este egal cu 1 2
3 3
1
x x = = 3p
3. ( ) ( )2 2
4 2 1 6 7 0x x x x+ = − ⇒ − − = 3p
1x = − , care convine; 7x = , care nu convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Cifra sutelor poate fi aleasă în 4 moduri, iar pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifrele
zecilor şi unităţilor se pot alege în câte 5 moduri, deci există 4 5 5 100⋅ ⋅ = de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 100 1
nr. cazuri posibile 900 9
p = = = 1p
5. ( )2OC ai a j= + +



   , 2 3AB i j= − −



   2p
2 4
2 3
a a a
+
= ⇔ =
− − 3p
6. sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin
3 3 3 3 3 3
x x x x x x
π
π
π
π
π
π   
+ + − = + + − =   
    3p
1
2sin cos 2sin sin
3 2
x x x
π
= = ⋅ = , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
0 1 0 1
0 det 0
2 3 2 3
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
0 3 1 2 2= ⋅ − ⋅ = − 3p
b) ( ) 2 21
det 3 3 2 2
2 3
a a
A a a a a a
a a
+
= = + − − − = −
+ + , pentru orice număr real a 3p
( ) ( )det 0A a A a≠ ⇒ este inversabilă, pentru orice număr real a 2p
c)
( )( ) 1
3 1
2 2
2
2 2
a a
A a a a
−
+ + 
− 
=  
+ − 
 
, pentru orice număr întreg a 2p
( )( ) ( )
1 1
1
a b a b
X A a A b b a b a
− − + − 
= =  
− − + 
și, cum a şi b sunt numere întregi, obținem că
X are toate elementele numere întregi
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 2 2 2 4
2 4 4 2
a ⋅ ⋅
= = + = 2p
1 4 5= + = , care este număr întreg 3p
b) 2 2
2 2x y
x y xy
+
= , pentru orice ,x y A∈ 2p
( )22 2 22 2 4
4 0
x yx y xy
x y xy xy
−+ −
− = = ≥ , deci 4x y ≥ , pentru orice ,x y A∈ 3p
c) Dacă legea de compoziţie „  ” ar admite element neutru, atunci ar exista e A∈ astfel încât
x e e x x= =  , pentru orice x A e e e∈ ⇒ = , de unde obținem 2 2e e
e e e
= + , deci 4e = 3p
Cum 2 4 2≠ , obținem că 4e = nu convine, deci legea de compoziţie „  ” nu admite
element neutru 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 2
1 1
'
1 1
f x
x x
= − + =
− + 2p
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 4
1 1 1 1
x x x x x
x x x x
− − − + − + −
= =
− + − +
, ( ) ( )1,1 1,x ∈ − ∪ + ∞ 3p
b) Graficul funcției f intersectează axa Oy în punctul ( )( )0, 0A f , ( )0 2f = − și ( )' 0 0f = 3p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 2y = − 2p
c)
( )
( )
( )( )
2( )
1 1 1
x xf x
f x x x
+
=
+ − + , ( ) ( )1,1 1,x ∈ − ∪ + ∞ 2p
( )
( )
2
1
lim lim 1
1 11 1 1
x x
f x x
f x
x x
→+∞ →∞
+
= =
+   
− +  
  
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0
2 2
4 2 2
2 0 0
x
x f x dx x dx x+ = + = + =∫ ∫ 3p
2 0 4 0 6= − + − = 2p
b)
( ) ( )( )
1 1
0 0
12
1 2ln 4
4 0
f x dx dx x x
x
 
= − = − + = 
+ 
∫ ∫ 3p
5
1 2ln 5 2ln 4 1 2ln 4
= − + = − 2p
c) 2 1
4
x
x
+ ≤
+ şi 0x
e− > , deci ( ) x x
f x e e− −
≤ , pentru orice [ ]0,x n∈ , pentru orice număr natural
nenul n
2p
( )
0 0
1 1
0
n n
x x x n
n
f x e dx e dx e e− − − −
≤ = − = − <∫ ∫ , pentru orice număr natural nenul n 3p