Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul2021a al progresiei aritmetice( ) 1n n
a  , știind că1 2a = și3 8a = .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției:f → ,( ) 2 3f x x= − cu
dreaptad de ecuație3y x= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2
3 27x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9A = , acesta să fie
divizor al numărului48 .
5p 5. Se consideră vectorii2u i m j= + și( )4 2v m i j= − + , undem este număr real. Determinați
numărul realm pentru care0u v = .
5p 6. Se consideră triunghiulABC cu6AB = ,3AC = și unghiulA de120 . Calculați perimetrul
triunghiuluiABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea( )
2 1 1
1 2 1
1 1
a
A a a
a
 
 
=  
 −  și sistemul de ecuații2 0
2 1
1
ax y z
x ay z
x ay z
+ + =
 + + =
 + − = − , undea este
număr real.
5p a) Arătaţi că( )( )det 1 3A − = − .
5p b) Determinați valorile reale ale luia pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.
5p c) Determinați numărul întrega , știind că există numerele reale0y și0z astfel încât( )0 01, ,y z este
soluție a sistemului de ecuații.
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă5x y x xy y= + + .
5p a) Verificați dacă0e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p b) Demonstrați că1 1 1
5 5 5 5
x y x y
  
= + + −  
   , pentru orice numere realex șiy .
5p c) Calculați partea întreagă a numărului1 1 1
...
2 3 2021
q      
= − − −     
      .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia( ): 0,f + → ,( ) ( )1 lnf x x x= + .
5p a) Arătaţi că( ) 1
' 1 lnf x x
x
= + + ,( )0,x  + .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţieif în punctul( )1,0A .
5p c) Demonstrați că funcțiaf este convexă pe )1, + .
2. Se consideră funcţia:f → ,( ) 2
1
1
n
x
f x x
+
= + , unden este număr natural nenul.
5p a) Pentru3n = , se consideră funcția:g → ,( ) ( ) ( )2 1g x x f x= + . Determinați primitivaG a
funcțieig pentru care( )0 2021G = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Pentru1n = , calculați( )
1
0
f x dx .
5p c) Demonstrați că( )
1
0
1
4 f x dx
   , pentru orice număr naturaln ,2n  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1 2 3a a r r= + ⇒ = 2p
2021 1 2020 6062a a r= + = 3p
2. ( ) 2 3 3f x y x x= ⇔ − = − + 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 2x = și 1y = 2p
3. 2
32 2
3 3 3
2
x x
+ +
= ⇔ = 3p
4x = 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele din mulțimea A care sunt divizori ai numărului 48 sunt: 1, 2 , 3 , 4 , 6 și 8 , deci
sunt 6 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 6 3
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 1p
5. ( )2 4 2 4 8u v m m m⋅ = − + = −

 
 , unde m este număr real 3p
4 8 0 2m m− = ⇔ = 2p
6. 2 2 2 1
2 cos 36 9 2 6 3 63
2
BC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ ⋅ = , deci 3 7BC = 3p
( )3 7 9 3 7 3ABCP AB BC CA∆ = + + = + = + 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 1 1 2 1 1
1 1 2 1 det 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1
A A
− − 
 
− = − ⇒ − = − = 
 − − − − 
2p
( ) ( ) ( )4 1 1 2 1 2 3= − + + − − − − − − = − 3p
b)
( )( ) 2
2 1 1
det 1 2 1 6 2
1 1
a
A a a a a
a
= = − − +
−
, pentru orice număr real a 2p
Sistemul de ecuații admite soluție unică ( )( ) 2 1
det 0 \ ,
3 2
A a a  
⇔ ≠ ⇔ ∈ − 
 
ℝ 3p
c) Cum a este număr întreg, obținem că ( )( )det 0A a ≠ , deci ( )0 01, ,y z este unica soluție a
sistemului de ecuații 2p
2
2
3
1 3 2 1 0
6 2
a a a
a a
= ⇔ + − =
− − + și, cum a este număr întreg , obținem 1a = − 3p
2.a) 0 5 0 0x x x x= + ⋅ ⋅ + = , pentru orice număr real x 2p
0 0 5 0x x x x= + ⋅ ⋅ + = , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul neutru al legii
de compoziție „  ” 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 1 1 1 1 1
5 5
5 5 5 5 5
x y xy x y x y y
   
= + + + − = + + + − =   
   
 3p
( )
1 1 1 1 1
5 1 5
5 5 5 5 5
y x x y
    
= + + − = + + −    
     , pentru orice numere reale x și y 2p
c) 1 1
5 5
x  
− = − 
 
 și 1 1
5 5
y
 
− = − 
   , pentru orice numere reale x și y 2p
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 4 5 6 2021 5 6 2021 5
q                     
= − − − − − − = − − − = −                    
                    
         , deci
[ ] 1q = −
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( )' '' 1 ln 1 lnf x x x x x= + ⋅ + + ⋅ = 2p
( ) 1 1
1 ln 1 1 lnx x x
x x
= ⋅ + + ⋅ = + + , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( )' 1 2f = , ( )1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2 2y x= − 3p
c) ( ) 2
1
'' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este convexă pe [ )1, +∞ 3p
2.a)
( ) 3 1g x x= + , x ∈ ℝ , deci :G →ℝ ℝ , ( ) 4
4
x
G x x c= + + , unde c ∈ ℝ 3p
Cum ( )0 2021G = , obținem 2021c = , deci :G →ℝ ℝ , ( ) 4
2021
4
x
G x x= + + 2p
b)
( ) ( )
1 1 1 2
2 2 2
0 0 0
11 1 1 ln 1 arctg
21 1 1 0
x x
f x dx dx dx x x
x x x
+    
= = + = + + =    + + + 
∫ ∫ ∫ 3p
1 ln 2
2 4
π
= + 2p
c) 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
n
x x
x x x
+ +
≤ ≤
+ + + , pentru orice [ ]0,1x ∈ și pentru orice număr natural n , 2n ≥ , deci
( )
1 1 1
2
0 0 0
1 1
1 dx f x dx dx
x ≤ ≤
+
∫ ∫ ∫ , pentru orice număr natural n , 2n ≥
3p
1
2
0
11 arctg 41 0
dx x
x
π
= =
+
∫ și ( )
1 1
0 0
1
1 1 1
40
dx x f x dx
π
= = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ , pentru orice număr natural
n , 2n ≥
2p