Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați media geometrică a numerelor 6 6log 8 log 27x = + și 2 3 2
2 3 6y = ⋅ + .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x a= + + , unde a este număr real. Determinaţi valorile
reale ale lui a pentru care graficul funcției f intersectează axa Ox în două puncte distincte.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2
2 2 1
7 7x x− −
= .
5p 4. Arătați că produsul numerelor 2
5A , 2
6C și 2
4A este pătratul unui număr natural.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 1A a− + , ( )2, 3B − și ( )3, 1C a− , unde a
este număr real. Determinați numărul real a pentru care punctele A , B și C sunt coliniare.
5p 6. Determinați raza cercului înscris în triunghiul MNP , dreptunghic în N , știind că 12MN = și
16NP = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1
2 4
1 1
a
A a a
a
= −
−
 
 
 
 
 
și sistemul de ecuații
2 1
2 4 1
0
ax y z
x y az
x ay z
+ + =
 + − =
 + − =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 31A = − .
5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție ( )0 0 0, ,x y z astfel încât 0 0
0 2 3
y z
x = = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 33 27x y x y∗ = + − .
5p a) Arătați că ( )2021 2021 3∗ − = − .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 27f x x= + . Demonstrați că ( ) ( ) ( )f x f y f x y∗ = + ,
pentru orice numere reale x și y .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
6
3
7
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )
2 3 3
26
3 1 7
'
7
x x x
f x
x
− − +
=
+
, x ∈ℝ .
5p b) Determinați asimptotele graficului funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) 4
7
f x f y− ≤ , pentru orice numere reale x și y .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1
x
x
f x e
+
= .
5p a) Arătați că ( )1 3
0
1
2 1
x
e f x dx e
x = −
+∫ .
5p b) Calculați ( )
1
0
x
e f x dx∫ .
5p c) Arătați că ( )
2
2
1
1 1 1
2 2
e
f dx
x x x e
−  = 
+  
∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )6log 8 27 3x = ⋅ = , 144 12y = = 2p
Media geometrică a numerelor x și y este 3 12 6xy = ⋅ = 3p
2. Graficul funcției f intersectează axa Ox în două puncte distincte 0⇔ ∆ > , deci 4 4 0a− > 3p
( ),1a ∈ −∞ 2p
3. 2 2
2 2 1 2 3 0x x x x− = − ⇔ + − = 3p
3x = − sau 1x = 2p
4. 2
5 4 5A = ⋅ , 2
6 3 5C = ⋅ și 2
4 3 4A = ⋅ 3p
2 2 2 2 2 2 2
5 6 4 4 3 5 60A C A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2p
5. 4
3
AB
a
m +
= − , 4BCm a= − , unde a este număr real 2p
A , B și C sunt coliniare 4 3 12AB BCm m a a⇔ = ⇔ + = − , deci 8a = 3p
6. 20MP = , deci semiperimetrul MNP∆ este 24p = 2p
96
96 4
2 24
MNP
MNP
MN NP r p
∆
∆
⋅
= = ⇒ = = =
A
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 2 1 1 2 1
1 2 4 1 det 1 2 4 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 
= − ⇒ = − =
−


  −
  2p
( ) ( ) ( )4 2 2 4 1 4 3= − + + − − − − − − = − 3p
b) ( )( ) 3
det 4A a a a= − , pentru orice număr real a 2p
( )A a este inversabilă ( )( ) ( )( )det 0 2 2 0A a a a a⇔ ≠ ⇔ − + ≠ , deci { }\ 2,0, 2a ∈ −ℝ 3p
c)
Dacă ( )0 0 0, ,x y z este soluție a sistemului cu 0 0
0 2 3
y z
x = = , atunci
0 0 0
0 0 0
0 0 0
4 3 1
2 8 3 1
2 3 0
ax x x
x x ax
x ax x
+ + =
 + − =
 + − =
,
unde a este număr real, deci
( )
( )
( )
0
0
0
7 1
10 3 1
2 1 0
x a
x a
x a
 + =
 − =
 − =
2p
( )0 7 1x a + = , deci 0 0x ≠ și, cum ( )02 1 0x a − = , obținem că 1a = ; ( )0 0
1
7 1 8
x a x+ = ⇒ =
și ( )0 0
1
10 3 1 7
x a x− = ⇒ = , ceea ce este imposibil
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( )3 33 3 332021 2021 2021 2021 27 2021 2021 27∗ − = + − − = − − = 3p
3 27 3= − = − 2p
b) 3 3 3 3 3 3
27 27x e x x e x x e x∗ = ⇔ + − = ⇔ + − = , pentru orice număr real 3x e⇔ = 3p
Cum 3 33 3 3
3 3 27x x x x∗ = + − = = , pentru orice număr real x , obținem că 3e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗” 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 33 327 27 27 27f x f y f x f y x y∗ = + − = + + + − = 3p
( )3 27x y f x y= + + = + , pentru orice numere reale x și y 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 6 5 3
26
3 7 6 3
'
7
x x x x
f x
x
+ − +
= =
+
3p
( )
( )
( )( )
( )
2 6 3 2 3 3
2 26 6
3 6 7 3 1 7
7 7
x x x x x x
x x
− + − − − +
= =
+ +
, x ∈ℝ 2p
b)
( ) ( )
3 3
6 6
3 3
lim lim 0, lim lim 0
7 7x x x x
x x
f x f x
x x→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
+ +
= = = =
+ + 2p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre −∞ și spre +∞ la graficul funcției
f , iar graficul funcției f nu admite asimptote verticale 3p
c) ( ) 3
' 0 7f x x= ⇔ = − , 0x = sau 1x = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( 3
, 7x f∈ −∞ − ⇒ este
descrescătoare pe ( 3
, 7 −∞ −  , ( )' 0f x ≥ , pentru orice 3 7,1x f ∈ − ⇒  este crescătoare pe
3 7,1 −  și ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )1, +∞
3p
( )3 1
7 14
f − = − , ( ) 1
1 2
f = și ( ) ( )lim lim 0
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= = , deci ( )
1 1
14 2
f x− ≤ ≤ , pentru
orice număr real x , de unde obținem ( ) ( )
4 4
7 7
f x f y− ≤ − ≤ , deci ( ) ( ) 4
7
f x f y− ≤ , pentru
orice numere reale x și y
2p
2.a) ( )1 13
0 0
1
2 1 0
x x xe f x dx e dx e
x = = =
+∫ ∫ 3p
1 0 1e e e= − = − 2p
b)
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
0 0 0 0
1
2 1 2 1 ' 2 1 2
0
x x x x x
e f x dx x e dx x e dx x e e dx− − − −
= + = + − = − + + =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
13 3 2 3 5
1 2 1 2
0
x e
e
e e e e
− −
= − + − = − + − + = 2p
c)
( )
2 2 22 2 2
2
1 1 1
21 1 1 1 2 1'
2 2 2 1
x x xf dx e dx e dx e
x x x xx
− − −   
= = − = =   
+    
∫ ∫ ∫ 3p
2 2
1 1 1
2 2 2
e
e e e
−
= − = 2p