Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) 2 2
1
2 lg 40 1
lg 5 lg 2
− ⋅ =
− .
5p 2. Determinați valorile reale ale lui m pentru care soluția ecuației 2
2 1 0x m− + = este număr real
strict mai mic decât 0 .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2
2 4x x x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta
să verifice inegalitatea ( )1 ! ! 2n n n+ − ≤ + .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,6A − și ( )0, 2B . Determinați coordonatele
punctului C , știind că 2AO BC=



 


 .
5p 6. Determinați numerele reale a , 2a > − , știind că 2 1a + și 2a + sunt lungimile ipotenuzei,
respectiv razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0
1 0 1
1 1
a
A a
a
 
 
=  
 
 
, unde ( )0,a ∈ +∞ .
5p a) Arătați că ( )( )det 4 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )( )det 1 1 0A a A A a⋅ − + > , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ .
5p c) Arătați că matricea ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 2 3 ...B n A A A A n= + + + + este inversabilă, pentru orice număr
natural n , 2n ≥ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( ) ( )3 4 3x y xy x y= + − + .
5p a) Arătați că 3 2 3= .
5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3 3x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Calculați
1 11
3 202121
3 3 3 3  …  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
( )
[ )2
arctg , ,0
5 , 0,
4
x x x
f x x x
x x
 − ∈ −∞

=  ∈ +∞ + +
.
5p a) Arătaţi că funcția f este continuă pe ℝ .
5p b) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe ( ),0−∞ .
5p c) Demonstrați că ( ) 1f x ≤ , pentru orice număr real x .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
1
2
x
f x x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
5
1
2 16x x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )
3
1
f x dx∫ .
5p c) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este concavă.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 3
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
1
lg100 lg 40 lg 5 lg 2 lg 5 lg 2
− ⋅ =
− + 2p
100 1 5 1
lg lg 1
5 540 2lg lg10 lg
2 2
= ⋅ = ⋅ =
⋅ 3p
2. 2
2 1
2 1 2
m
x m x −
= − ⇔ = 2p
Soluția ecuației este un număr real strict mai mic decât 0 2 1 0m⇔ − < , deci ( )1,1m ∈ − 3p
3. 2 4 2 2
2 2 4 3 0x x x x x x x x+ = ⇔ + = ⇔ − = 3p
0x = sau 3x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică inegalitatea
( )1 ! ! 2n n n+ − ≤ + sunt 0 , 1 și 2 , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10
p = = 1p
5. 6 6AO i j= −



   și ( )2C CBC x i y j= + −



   , deci ( )6 6 2 2 2C Ci j x i y j− = + −
    3p
Coordonatele punctului C sunt 3Cx = , 1Cy = − 2p
6. Triunghiul este dreptunghic, deci ( )2 1 2 2a a+ = + , de unde obținem 2 2 3 0a a− − = 3p
1a = − sau 3a = , care convin 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 2 1 0 2
4 1 0 1 4 1 0 1
4 1 1 4 1
det
1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 2 0 0 1 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( ) ( )
1 1 1 0 1 1 1
1 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1
2 1 2 1 1 1 1 0 1
a a a a a a a a
A a A A a
a a a a
     + + + + − +
     
⋅ − + = − =     
     + + + +     
,
pentru orice ( )0,a ∈ +∞
3p
( ) ( ) ( )( )
1 1
det 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 1
a a a a
A a A A a a
a
+ − +
⋅ − + = = + − >
+
, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 3
c)
( )
( )
( )( )2 2 2
1
0
1 1 1 0 1 2 2
1 1 1 0 1 1 1 0
1 2 11 2 1 1 1 1 1 1
6
n n
n
n
B n n n
n n nn n n
 + 
  + + + + + +   
= + + + + + + =       + ++ + + + + + + + +     
 
… …
… …
… … …
, pentru
orice număr natural n
2p
Pentru orice număr natural n , 2n ≥ , ( )( ) ( )3 1
det 0
2
n n
B n −
= ≠ , deci matricea ( )B n este
inversabilă, pentru orice număr natural n , 2n ≥
3p
2.a) ( ) ( )3 2 3 3 2 4 3 3 2= ⋅ + − + = 2p
6 4 3 3 3 6 3= + − − = 3p
b) 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3x y xy x y xy x y= − − + = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3 3 3x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
c) 3 3x = , 3 3y = , pentru orice numere reale x și y 2p
( )
1 1 1 1 1 11
3 2021 3 2021 3 202121 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 
 = = =
 
 
  …    …   …  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) Cum ( ) ( )
0 0
0 0
lim lim arctg 0
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= − = , ( ) 20 0
0 0
5
lim lim 0
4x x
x x
x
f x x x→ →
> >
= =
+ + și ( )0 0f = , obținem
( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= , deci f este continuă în 0x =
3p
Cum f este continuă pe ( ),0−∞ și pe ( )0, +∞ , obținem că f este continuă pe ℝ 2p
b)
( ) ( ) 2
2
arctg ' 1
x
f x x x f x x
= − ⇒ = + , pentru orice ( ),0x ∈ −∞ 3p
( )' 0f x > , pentru orice ( ),0x ∈ −∞ , deci funcția f este crescătoare pe ( ),0−∞ 2p
c) f este crescătoare pe ( ),0−∞ și continuă în 0x = , deci ( ) ( )0f x f≤ și, cum ( )0 0f = ,
obținem ( ) 0f x ≤ , pentru orice ( ),0x ∈ −∞ 2p
Pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , ( ) ( )22
2
5
1 1 4 4 0 2 0
4
x
f x x x x
x x
≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
+ + , deci
( ) 1f x ≤ , pentru orice număr real [ ) ( )0, 1x f x∈ +∞ ⇒ ≤ , pentru orice număr real x
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
5 5 2
1 1
5
2 1 2 1
x
x x f x dx x dx x
 
+ = + = + =  
 
∫ ∫ 3p
25 1
5 1 16
2 2
 
= + − + = 
  2p
b)
( ) ( )
3 3 2
2
1 1
31 2 2 1 ln 2
2 22 1
x
f x dx dx x x
x x
+
= = + =
+
∫ ∫ 3p
( )
1 1
ln15 ln 3 ln 5
2 2
= − = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 3 din 3
c)
( ) ( )'F x f x= , ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 2 2 2 2
0, ''
2 2
x x x x x x
x F x
x x x x
+ − + + + +
∈ +∞ ⇒ = = −
+ +
, ( )0,x ∈ +∞ 3p
( )'' 0F x < , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este concavă 2p