Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 8b al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 5 3b = și 6 6b = .
5p 2. Se consideră funcția ( ) 2
: , 3f f x x x→ = − −ℝ ℝ . Arătați că ( )( )3 3f f = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația ( )2lg lg 5 6x x= + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să
aibă cifra sutelor egală cu cifra unităţilor.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A , ( )1, 2B − − și ( ), 2C a − , unde a este număr
real nenul, 1a ≠ − . Determinați numărul real a pentru care ortocentrul triunghiului ABC este O .
5p 6. În triunghiul ABC , 6AB = , 3 6AC = și 3
B
π
= . Determinați măsura unghiului C .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1
a
A a a
 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 3A = .
5p b) Arătați că matricea ( )A a este inversabilă, pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numărul întreg k pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1A A A A A kA⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru
3 2 2 2x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că numărul 1 1
3 3
 este întreg.
5p b) Arătați că 2
3
x x ≥ , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care x x x e=  , unde e este elementul neutru al legii de
compoziție „  ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
x
e
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
22
1
'
1
x
e x
f x
x
−
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Arătaţi că graficul funcției f nu admite asimptotă spre +∞ .
5p c) Demonstrați că 5 5
3 2
f f
   
<      
   
.
2. Se consideră funcția [ ): 0,f +∞ → ℝ , ( )f x x= .
5p a) Arătați că ( )
4 4
1
21f x dx =∫ .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )
1
0
x
f e dx∫ .
5p c) Arătați că ( )
4 2
1
2
f x
e dx e=∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Raţia progresiei geometrice este 6
5
2
b
q b
= = 2p
2
8 6 6 4 24b b q= = ⋅ = 3p
2. ( )3 3 3 3 3f = − − = − 2p
( )( ) ( )3 3 3 3 3 3f f f= − = + − = 3p
3. ( )2 2
lg lg 5 6 5 6 0x x x x= + ⇒ − − = 3p
1x = − , care nu convine; 6x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Cifra sutelor, egală cu cifra unităţilor, poate fi aleasă în 9 moduri, iar, pentru fiecare alegere a
cifrei sutelor, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 10 moduri, deci sunt 90 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 90 1
nr. cazuri posibile 900 10
p = = = 1p
5. BC Ox
 și A Oy AO BC∈ ⇒ ⊥ , deci O este ortocentrul triunghiului ABC OC AB⇔ ⊥ 2p
Cum 2
OCm a
= − și 5ABm = , obținem că 2 5 1
a
− ⋅ = − , deci 10a = 3p
6. 6sin
sin
sin sin 3 6
AB AC B
C
C B
= ⇒ = și, cum 3
sin 2
B = , obținem 2
sin 2
C = 3p
Cum 3
C
π
π< − , obținem 4
C
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )1 2 1 2
2 det 2
2 1 2 1
A A
 
= ⇒ = = 
 − − 
2p
( )1 1 2 2 1 2 3= ⋅ − ⋅ − = + = 3p
b) ( ) 2
det 1A a a= + , pentru orice număr real a 2p
2
1 0a+ > , pentru orice număr real ( )det 0a A a⇒ ≠ , deci ( )A a este inversabilă pentru
orice număr real a 3p
c) ( ) 1 1
1 1 1
A  
=  
− 
, ( ) ( ) 0 2
1 1 2 0
A A  
⋅ =  
− 
, ( ) ( ) ( ) ( ) 2
4 0
1 1 1 1 4
0 4
A A A A I
− 
⋅ ⋅ ⋅ = = − 
−  3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 1 1 4 1 4 1A A A A A I A A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = − , deci 4k = − 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 1 1 1 1 1 1
3 2 2 2
3 3 3 3 3 3
= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p
1 2 2 2 1
3 3 3
= − − + = , care este număr întreg 2p
b) 2
3 4 2x x x x= − + , pentru orice număr real x 2p
22 4
3 4 0
3 3
x x x x≥ ⇔ − + ≥ și, cum 0∆ = , obținem că 2
3
x x ≥ , pentru orice număr real x 3p
c) 1 1x x x= =  , pentru orice număr real x , deci 1e = 2p
3
2 2 2 2 1
1 3 1
3 3 3 3
x x x x x
 
= ⇔ − + = ⇔ − = 
 
  , de unde obținem 1x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
2
22
1 2
'
1
x x
e x xe
f x
x
+ −
= =
+
3p
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2 1 1
1 1
x xe x x e x
x x
− + −
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 3 2
lim lim lim lim 63 1
x x x
x x x x
f x e e e
x xx x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = =
+ + 3p
lim 6
x
x
e
→+∞
= = +∞ , deci graficul lui f nu admite asimptotă spre +∞ 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = , ( )' 0f x > pentru orice ( ),1x f∈ −∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( ),1−∞ ,
( )' 0f x > pentru orice ( )1,x f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( )1, +∞ și, cum f este
continuă în 1x = , obținem că f este strict crescătoare pe ℝ
3p
Cum 5 5
3 2
< , obținem că 5 5
3 2
f f
   
<      
    2p
2.a)
( )
4 4 3
4 2
1 1
4
3 1
x
f x dx x dx= = =∫ ∫ 3p
3 3
4 1 21
3
−
= = 2p
b)
( )
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 0
x x
x x
f e dx e dx e dx e= = = =∫ ∫ ∫ 3p
1
022 2 2 2e e e= − = − 2p
c) ( ) ( )
4 4 4 4 2
1 1 1 1 1
'1
2 2 2
2
f x x x x t
e dx e dx xe dx x xe dx t e dt
x
= = ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) 2
2
2 1 2
1
t
t e e= − = 2p