Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 11

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi al patrulea termen al progresiei geometrice( ) 1n n
b  , știind că2 6b = și3 3b = .
5p 2. Se consideră funcția:f → ,( ) 2 3 4f x x x= + − . Determinați numerele realea , pentru care( ) ( ) 0f a f a− + =
.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația1
2 16 4x x+ −
=  .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra unităţilor egală cu dublul cifrei zecilor.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )2,5A ,( )4, 3B − şi( ), 3C a a + , undea este un
număr real. Determinați numărul reala pentru care dreaptaOC trece prin mijlocul segmentuluiAB .
5p 6. Arătați că2 2
sin cos cos 2
2 2
x x x

   
+ − + =   
    , pentru orice număr realx .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele1 1
2 2
A  
=  
  şi( ) 1
, 1
a
B a b b
 
=  
  , undea şib sunt numere reale.
5p a) Arătați că( )( )det 1,2 1B = − .
5p b) Arătați că( )( )det , 0A B a b = , pentru orice numere realea şib .
5p c) Determinați numerele realea şib pentru care( ) ( ), ,A B a b B a b A =  .
2. Pe mulțimea )1,M = + se definește legea de compoziție| | 1x y x y= − + .
5p a) Arătați că3 5 3= .
5p b) Calculația b− , știind că( )2 3 4a = şi( )2 3 4b = .
5p c) Arătați că există o infinitate de perechi( ),m n de numere naturale nenule pentru carem n m= .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția( ): 1,f + → ,( ) 1
ln 1
x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că( ) 2
2
' 1
f x x
= − ,( )1,x  + .
5p b) Calculați( )lim
x
f x
→+ .
5p c) Demonstrați că funcțiaf nu este surjectivă.
2. Se consideră funcția:f → ,( ) 1f x x= + .
5p a) Arătați că( )
1
0
2 3f x dx = .
5p b) Calculați( )
1
0
x
e f x dx .
5p c) Demonstrați că( ) ( )
0 0
e e f xx
f e dx e dx  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.2 2
3 2 4 43 6b b b b=  = 3p4
3
2
b =
2p
2.( ) ( )2 2 2
3 4 3 4 0 4a a a a a− + − − + + − =  = 3p2a = −
sau2a = 2p
3.1 4 2 1 4 2
2 2 2 2 2 1 4 2x x x x x x+ − + −
=   =  + = − 3p1x =
2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au cifra unităţilor egală cu dublul cifrei zecilor sunt12 ,24
,36 și48 , deci sunt4 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 90 45
p = = =
1p
5.( )3,1M este mijlocul segmentuluiAB 2pM OC C OM  
și, cum dreaptaOM are ecuaţia3 0x y− = , obţinem( )3 3 0a a− + = ,
deci9
2
a = − 3p
6.sin cos
2
x x
 
+ = 
  ,cos sin
2
x x
 
+ = − 
  , pentru orice număr realx 2p( )22 2 2 2 2
sin cos cos sin cos sin cos 2
2 2
x x x x x x x

   
+ − + = − − = − =   
   
, pentru orice număr
realx
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )( )
1 1 1 1
1, 2 det 1, 2
2 1 2 1
B B
 
=  = = 
 
2p1 1 1 2 1 2 1=  −  = − = −
3p
b)( ) 1 1
, 2 2 2 2
b a
A B a b b a
+ + 
 =  
+ +  , pentru orice numere realea şib 3p( )( ) ( )( ) ( )( )det , 2 1 1 2 1 1 0A B a b a b a b = + + − + + =
, pentru orice numere realea şib 2p
c)( ) 1 2 1 2
, 2 2
a a
B a b A b b
+ + 
 =  
+ +  , pentru orice numere realea şib 2p1 1 1 2 1 2 0
2 2 2 2 2 2
b a a a a
b a b b
+ + + +   
=  =   
+ + + +   
și0b = 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a)3 5 | 3 5 | 1 | 2 | 1= − + = − + = 3p2 1 3= + =
2p
b)( )2 3 4 2 4 3a = = = 2p( )2 3 4 2 2 1b = = =
, deci2a b− = 3p
c) Pentru1n = şim număr natural nenul,1 1 1 1 1m n m m m= = − + = − + = 3pm=
, deci există o infinitate de perechi de numere naturale nenule( ),m n pentru carem n m= 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( ) ( )( ) 1 1
' ln 1 ln 1 ' 1 1
f x x x x x
= − − + = − =
− + 3p( )
( )( ) 2
1 1 2
1 1 1
x x
x x x
+ − −
= =
− + −
,( )1,x  + 2p
b)( )
1
1
1
lim lim ln lim ln 11 1
x x x
x xf x x
x
→+ →+ →+
−
−
= = =
+ +
3p1 0
ln ln1 0
1 0
−
= = =
+
2p
c)( ) ( )2
1, 1 0 ' 0x x f x +  −    , deci funcţiaf este crescătoare 2p( ) ( )lim 0 0
x
f x f x
→+
=  
, pentru orice( )1,x  + , deci funcţiaf nu este surjectivă 3p
2.a)( ) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
2 2 2 2 0
f x dx x dx x x= + = + = 
3p1 2 3= + =
2p
b)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0 0 0 0
1
'1 1 1 0
x x x x x
e f x dx e x dx e x dx x e e dx= + = + = + − =   
3p( )
1
2 1 2 1 1
0
x
e e e e e= − − = − − − =
2p
c)( ) ( ) ( )1
1 1 1 ,
f xx x x x
f e e e e e e+
− = + − = − − pentru orice 0,x e 2p1 1e − 
și1x
e  , pentru orice  ( )0, 1 1 0x
x e e e  − −  , pentru orice 0,x e , de unde
obținem că( ) ( )
0 0
e e f xx
f e dx e dx  3p