Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că, dacă 1 1 2z i= − și 2
1
1 2
z i= + , unde 2 1i = − , atunci 1 2 1 2z z z z+ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x m= + , unde m este număr real. Determinați numărul real
m , astfel încât ( )( ) ( )2 1f f x f x= − , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 1
5 2 50 7x x x+ −
⋅ = ⋅ .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor { } { }: 0, 2, 4 3,5,7,9f → cu proprietatea ( )2 8f ≤ .
5p 5. În reperul cartezian xOy , se consideră punctele ( )2, 4A − , ( )2,0B și C astfel încât AC BC= .
Determinați ecuația dreptei d , care trece prin punctul C și este perpendiculară pe dreapta AB .
5p 6. Determinați 0, 2
x
π 
∈ 
  pentru care sin 2 cos cos 2 sin 1
3 3
x x x x
π
π   
+ = + +   
    .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele ( ) 4 0
0 9
x
x
A x  
 =  
 
, unde x este număr real și 1 1
0 1
B − 
=  
 
.
5p a) Arătați că ( )( ) 2
det 6 x
A x = , pentru orice număr real x .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A x B B A x⋅ = ⋅ .
5p c) Demonstrați că orice matrice ( )2X ∈ ℝ
M cu proprietatea că ( )1X X A⋅ = are toate elementele
numere întregi.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
2 2x y x xy y= + + .
5p a) Arătați că 2 1 12= .
5p b) Se consideră numerele reale a , b și c astfel încât 2 2 0a b c+ + ≠ . Știind că c a c b=  ,
demonstrați că a b= .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) 3
1 5 2x x x+ = + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )ln 1f x x x a x= + + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )' ln 1f x x a= + + , ( )0,x ∈ +∞ , pentru orice număr real a .
5p b) Pentru 1a = , determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , funcția f este convexă.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 x
f x x e= + .
5p a) Arătați că ( )
0
1
1
f x dx e−
= −∫ .
5p b) Calculați ( )
1 2
0
x f x dx∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )( )
2
0
2n
nI x f x x dx= −∫ . Demonstrați
că ( ) 1 2
1 1 2n
n nI n I e+
+ + + = , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 2
1 3
1 2 1 2
2 2
z z i i i+ = − + + = − 2p
( ) 2
1 2
1 1 3
1 2 1 1 2 2
2 2 2
z z i i i i i i
 
= − + = + − − = − 
  , deci 1 2 1 2z z z z+ = 3p
2. ( )( ) ( )( ) ( )2 2 4 3f f x f f x x m m x m= = + + = +
 , ( ) ( )( )2 1 2 2 1 4 4 2f x x m x m− = − + = − + ,
pentru orice număr real x 3p
4 3 4 4 2 4x m x m m+ = − + ⇔ = − 2p
3. 1 1 1 1
5 5 2 50 7 5 2 10 7 10 7x x x x x x x x− − − −
⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = 3p
1 0x − = , deci 1x = 2p
4. ( )2f poate fi aleasă în trei moduri și, pentru fiecare alegere a lui ( )2f , numerele ( )0f și
( )4f pot fi alese în câte patru moduri 3p
Există 3 4 4 48⋅ ⋅ = de funcții { } { }: 0, 2, 4 3,5,7,9f → cu proprietatea ( )2 8f ≤ 2p
5. 1d ABm m⋅ = − și, cum 1ABm = − , obținem 1dm = 2p
AC BC d= ⇒ este mediatoarea segmentului AB și, cum ( )0, 2M este mijlocul
segmentului AB , obținem că ecuația dreptei d este 2y x= + 3p
6. sin 2 cos cos 2 sin 1 sin 2 1
3 3 3
x x x x x x
π
π
π     
+ − + = ⇔ + − =     
      2p
sin 1
3
x
π 
+ = 
  și, cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 3 2
x
π π
+ = , deci 6
x
π
= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 4 0
det 4 9 0 0
0 9
x x x
x
A x = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 2 2
2 3 6x x x
= ⋅ = , pentru orice număr real x 2p
b)
( ) 4 4
0 9
x x
x
A x B  −
 ⋅ =  
 
, ( ) 4 9
0 9
x x
x
B A x  −
 ⋅ =  
 
, pentru orice număr real x 3p
4 4 4 9 4 9
0 9 0 9
x x x x x x
x x
   − −
   = ⇔ =
   
   
, de unde obținem 0x = 2p
c) Cum ( ) ( )1 1A X X X X X A⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ , pentru ( )2
4 4 4 9
9 9 4 9
a b a b a b
X c d c d c d
     
= ∈ ⇒ =     
     
ℝ
M ,
deci 0b = și 0c =
3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
{ }
2
2
0 4 0 2, 2
0 90
a a
d
   
  = ⇔ ∈ −     
și { }3,3d ∈ − , deci orice matrice X cu proprietatea că
( )1X X A⋅ = are toate elementele numere întregi
2p
2.a) 2 2
2 1 2 2 2 1 2 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
 3p
8 2 2 12= + + = 2p
b) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 0 2 2 0c ca a c cb b c a b a b a b c a b+ + = + + ⇔ − + − = ⇔ − + + = 3p
Cum 2 2 0a b c+ + ≠ , obținem 0a b− = , deci a b= 2p
c) ( ) ( ) ( )22 3 3 2 2
2 1 2 1 5 2 5 5 5 0 5 1 0x x x x x x x x x x x+ + + + = + ⇔ − − = ⇔ − − = 2p
1 5
2
x −
= , 0x = sau 1 5
2
x +
= 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )' '' ' ln ln 1f x x x x x a x= ⋅ + ⋅ + + = 3p
1
ln ln 1x x a x a
x
= + ⋅ + = + + , ( )0,x ∈ +∞ , pentru orice număr real a 2p
b) ( )' ln 2f x x= + , deci ( ) 2
1
' 0f x x e
= ⇔ = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice 2
1
0,x f
e
 
∈ ⇒ 
  este descrescătoare pe 2
1
0, e
 
 
  și ( )' 0f x ≥ , pentru
orice 2
1 ,x f
e
 
∈ +∞ ⇒
  este crescătoare pe 2
1 ,
e
 
+∞ 
 
3p
c) ( ) 1
''f x x
= , ( )0,x ∈ +∞ , pentru orice număr real a 2p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci, pentru orice număr real a , funcția f este convexă 3p
2.a)
( ) ( ) ( )
0 0 2
1 1
0
2 1
x x
f x dx x e dx x e
− −
= + = + =
−
∫ ∫ 3p
0 1 1
0 1e e e
−
= + − − = − 2p
b)
( ) ( ) ( ) 2
2 2
1 1 1 1 4
2 3 3 2
0 0 0 0
1 11
2 2 2 2 20 0
x
x x x e
x f x dx x xe dx x dx x e dx
′
= + = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
1 0
1
2 2 2 2
e e e
= + − = 2p
c)
( )( ) ( )
2 2 2
1 1 1
1
0 0 0
2
2 1
0
n n x n x n x
nI x f x x dx x e dx x e n x e dx+ + +
+ = − = = − + =∫ ∫ ∫ 3p
( )1 2
2 1n ne n I+
= − + , deci ( ) 1 2
1 11 2n
n nI n I e+
+ −+ + = , pentru orice număr natural nenul n 2p