Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – 15 martie 2021, testul 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor șapte termeni ai progresiei aritmetice( ) 1n n
a  , știind că1 5a = − și rația8r =
.
5p 2. Determinați valorile reale nenule ale luia pentru care ecuația2 1 0ax x a− − − = are două soluții
distincte în mulțimea numerelor reale.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația3 3 2
3 9 2x x x x− + − = .
5p 4. Calculați2 3
3 55 3A C− .
5p 5. Se consideră vectorii2a i m j= + și( )2
5 1b i m j= − + , undem este număr real. Determinați
numerele realem pentru care vectoriia șib sunt coliniari.
5p 6. Se consideră triunghiulABC cuAB BC ,6AC = ,10BC = și aria egală cu15 . Determinați
măsura unghiuluiC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele1 1
1 1
A − 
=  
−  ,2
1 0
0 1
I  
=  
  și( ) 2,M a b aI bA= + , undea șib sunt numere
reale.
5p a) Arătați cădet 0A = .
5p b) Demonstrați că( ) ( ) ( ), , ,M a b M x y M ax ay bx = + , pentru orice numere realea ,b ,x șiy .
5p c) Arătați că, dacăx șiy sunt numere reale pentru care matricele( ) ( ), 2 , 2B M x y M y x= + și( ) ( )2,1 2,1C M x M y= 
sunt egale, atunci2 2 0x y+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție2 2 2x y xy x y = + + + și2x y x y= + +
.
5p a) Arătați că( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3  =  .
5p b) Demonstrați căx e e = , pentru orice număr realx , undee este elementul neutru al legii de
compoziție „ ”.
5p c) Determinați numărul naturaln pentru care( ) ( )n n n n −  − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f → ,( ) ( )
( )  )
2
1 1, ,0
ln 1 , 0,
x x x x
f x x x x
 − + − +  −
=  +  + .
5p a) Arătaţi că funcțiaf este continuă pe .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este convexă pe( )0,+ .
5p c) Arătați că, pentru orice număr reala ,0a  , tangenta la graficul funcțieif în punctul( )( ),A a f a
nu este paralelă cu axaOx .
2. Se consideră funcțiile( ): 0,f + → ,( ) 1
2f x x x
= − și( ): 0,g +  → ,( ) 2
1 x x
g x x
+
= .
5p a) Demonstraţi că funcţiaf este o primitivă a funcţieig .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați( )
4
1
4
g x dx .
5p c) Determinați numărul realm ,( )0,1m , pentru care( ) ( )
1 2 1
3m
f x g x dx = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.( ) ( )( )1
1 2 3 4 5 6 7
2 5 6 8 72 6 7
2 2
a r
a a a a a a a  − +  + 
+ + + + + + = = = 3p133=
2p
2.( ) ( )2
1 4 1 2 1a a a = − − − = + 2p1
0 2
a    −
și, cuma este număr real nenul, obținem1
\ ,0
2
a  
 − 
  3p
3.3 3 2 2
9 9 0x x x x+ − =  − = 3p3x = −
sau3x = 2p
4.( ) ( )
2 3
3 5
3! 5!
5 3 5 3
3 2 ! 5 3 ! 3!
A C− =  −  =
− −  2p4 5
5 6 3 30 30 0
2

=  −  = − =
3p
5.2
2
2 2 5 2 0
5 1
m m m
m
=  + + =
− − 3p2m = −
sau1
2
m = − 2p
6.sin 6 10 sin 1
15 sin
2 2 2
ABC
AC BC C C C
   
=  =  = 3p
CumAB BC AC  , unghiulC are măsura cea mai mare dintre unghiurileABC , deci
unghiulC are măsura de150 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )
1 1 1 1 1det 1
1 1
A − =  − − − 
−
= =
3p1 1 0= − + =
2p
b)2
0 0
0 0
A A O
 
 = = 
  2p( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2, , aI bA xI yA axI ayA bxA ybA A axI ay bM a b M x x Ay + + = + + +  = + + = =( ),M ax ay bx= +
, pentru orice numere realea ,b ,x șiy 3p
c)( )( )2 22 2 ,2B xI yA yI xA M x y x y= + + + = + + , pentru orice numere realex șiy 2p
Cum( )( )2 , 2C M xy x y= + , obținem că2 0x y xy+ = = , deci2 2
0 0x y x y= =  + = 3p
2.a)( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 2 4 2 3 2 6 2 10 13 10 13 2 25  = + + + + + + = = + + = 3p( ) ( )1 2 3 1 2 3 2 1 7 7 2 14 2 25 =  + + =  = + + + =
, deci( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3  =  2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b)( ) ( )2 2x x x− = − = , pentru orice număr realx , deci2e = − 2p( ) ( )2 2 2 4 2 2x e x x x e =  − = − + + − + = − =
, pentru orice număr realx 3p
c)( ) 2
2n n n − = − ,( ) 2n n− = , pentru orice număr naturaln 2p2 2
2 2 0n n−   
, deci0n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )2
0 0
0 0
lim lim 1 1 0
x x
x x
f x x x x
→ →
 
= − + − + = ,( ) ( )( )0 0
0 0
lim lim ln 1 0
x x
x x
f x x x
→ →
 
= + = și( )0 0f = , deci( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
=
, de unde obținem căf este continuă în0x =
3p
Cumf este continuă pe( ),0− și pe( )0,+ , obținem căf este continuă pe 2p
b) Pentru orice( )0,x  + ,( ) ( )' ln 1 1
x
f x x x
= + + + și( ) ( )2
1 1
'' 1 1
f x x x
= +
+ + 3p( )'' 0f x 
, pentru orice( )0,x  + , deci funcțiaf este convexă pe( )0,+ 2p
c) Dacă( ),0a  − , atunci panta tangentei la graficul funcțieif în punctul( )( ),A a f a este( ) 2
2 1
1
2 1
a
f a
a a
−
 = +
− +
2p
Cum( ) 2 2 2
0 2 1 1 2 4 4 4 4 4 1f a a a a a a a a =  − + = −  − + = − + , ceea ce este imposibil,
obținem că, pentru orice număr reala ,0a  , tangenta la graficul funcțieif în punctulA
nu este paralelă cu axaOx
3p
2.a)( ) 2
1 1
' 2 2
f x x x
 
=  − − = 
  3p( )2 2
1 1 1x x g x
x x x
+
= + = =
, pentru orice( )0,x  +  , deci funcțiaf este o primitivă a
funcțieig
2p
b)( ) ( ) ( )
4
1
4
4 1
41 4
4
g x dx f x f f  
= = − = 
 

3p15 27
3
4 4
= + =
2p
c)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
2 2 3 3 3
11 1
' 1
3 3m m
f x g x dx f x f x dx f x f f m
m
 =  = = − 
3p
Cum( )1 1f = , obținem( ) 0f m = , deci3
1
4
m = , care convine 2p