Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – 15 martie 2021, testul 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 10 6− , 2 și 10 6+ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2021
2 1
x
f x x
= + . Arătați că funcția f este impară.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
4 3 2 16x x+
− ⋅ = .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi cu 2 elemente ale mulțimii { }0, 2, 4,6,8 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A − − , ( )0,3B și ( )2, 2C − . Determinați
ecuația dreptei d care trece prin punctul C și este paralelă cu dreapta AB .
5p 6. Triunghiul ABC are măsura unghiului A de 30° și măsura unghiului B de 45° . Arătați că
2AC BC= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
4 1
1 2 1
2 3 0
m
A m = −
− −
 
 
 
 
 
și sistemul de ecuații
4 9
2 4
2 3 7
x y mz
x y z
x y
+ + =
 + − =
 − − = −
, unde m
este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 10A m m= − , pentru orice număr real m .
5p b) Determinați inversa matricei ( )9A .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real m , 10m ≠ , dacă ( ), ,a b c este soluția sistemului de
ecuații, atunci 2log a b c= + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( )7 3 3 3x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 3 3x ∗ = , pentru orice număr real x .
5p b) Determinați numărul real x , astfel încât 46x x x∗ ∗ = − .
5p c) Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5 3
7
x
f x = + . Demonstrați că ( ) ( ) ( )f x f y f x y∗ = + , pentru
orice numere reale x și y .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2
x
f x
x x
=
+ +
.
5p a) Arătați că ( ) ( )2 2
2
'
2 2 2 2
x
f x
x x x x
+
=
+ + + +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )
3
2
2 2
2
x x
f x x x
− −
= + .
5p a) Arătați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) ( )
1
2 4ln 2F x x x
x
= + − + este o primitivă a funcției f .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( ) ( )
2
1
2x f x dx+∫ .
5p c) Determinați numărul real m , 2m > , astfel încât ( )
2
1 17
2 2
m
f x dx m m
= + −∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) 2 2
10 6 10 6 10 6− + = − = 2p
2
10 6 4 2= − = = , deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 3p
2.
( ) ( )
( )
2021 2021
2 2 11
x x
f x xx
− −
− = = =
+− + 3p
( )
2021
2 1
x f x
x
= − = −
+ , pentru orice x ∈ ℝ , deci funcția f este impară 2p
3. ( )( )2
2 6 2 16 0 2 8 2 2 0x x x x
− ⋅ − = ⇔ − + = 3p
Cum 2 0x > , pentru orice număr real, obținem 2 8x = , deci 3x = 2p
4. Numărul de submulțimi cu 2 elemente ale mulțimii { }0, 2, 4,6,8 este 2
5C = 3p
5! 10
2! 3!
= =
⋅ 2p
5. 5ABm = și, cum d AB , obținem 5dm = 3p
Ecuația dreptei d este ( )2 5 2y x− = + , deci 5 12y x= + 2p
6. 1
sin 2
A = , 2
sin 2
B = 2p
2 2
sin sin 2
AC BC AC BC
B A
= ⇒ = , deci 2AC BC= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( )
4 1
det 1 2 1 0 3 2 4 12 0
2 3 0
m
A m m m= − = − + − − − − =
− −
3p
3 4 10 10m m m= − + − = − , pentru orice număr real m 2p
b)
( )
4 1 9
9 1 2 1
2 3 0
A
 
 
= − 
 − − 
, ( )( )det 9 1A = − 2p
( )1
3 27 19
9 2 18 13
1 10 7
A−
 
 
= − − − 
 − − − 
3p
c) ( )( )10 det 0m A m≠ ⇒ ≠ , deci sistemul este compatibil determinat și ( ) ( ), , 2,1,0a b c = 3p
Cum 2 2log log 2 1a = = și 1 0 1b c+ = + = , obținem 2log a b c= + 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( )( )3 7 3 3 3 3x x∗ = − − + = 3p
0 3 3= + = , pentru orice număr real x 2p
b) ( )2
7 3 3x x x∗ = − + , ( )3
49 3 3x x x x∗ ∗ = − + , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )3 3
49 3 3 46 3 1x x− + = − ⇔ − = − , deci 2x = 3p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 5 5
7 3 3 3 7 3 3 3 3 3
7 7
x y
f x f y f x f y   
∗ = − − + = + − + − + =    
  
3p
( )
5 5 5
7 3 3
7 7 7
x y x y
f x y
+
= ⋅ ⋅ + = + = + , pentru orice numere reale x și y 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
2
2
2
2 2
2 2
2 2 2' 2 2
x
x x x
x xf x x x
+
+ + − ⋅
+ += =
+ +
3p
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x x x
+ + − + +
= =
+ + + + + + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 2
2
1
lim lim lim 1
2 22 2 1
x x x
x
f x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
+ + + + 3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = − , ( )' 0f x < pentru orice ( ), 2x f∈ −∞ − ⇒ este strict descrescătoare pe
( ), 2−∞ − și ( )' 0f x > pentru orice ( )2,x f∈ − +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( )2,− +∞ 2p
( )lim 1
x
f x
→−∞
= − , ( )2 2f − = − , ( )lim 1
x
f x
→+∞
= și, cum f este continuă, obținem
)Im 2,1f = −
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 41 4
' 2 2 2
x x x x
F x xx x x
+ − + −
= − − = =
+ + 2p
( ) ( )
3
2
2 2
2
x x f x
x x
− −
= =
+ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcția F este o primitivă a funcției f 3p
b)
( ) ( )
2 2 23 2
2 2
1 1 1
22 2 1 2 2
2 2 ln 1
x x
x f x dx dx x dx x x
x xx x
− −    
+ = = − − = − + =     
∫ ∫ ∫ 3p
2
4 ln 2 1 ln1 2 2 ln 2
2
= − + − + − = − 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 9 4
2 2 4ln
2 22
m m
f x dx F x F m F m m m
= = − = + − + +∫ 3p
1 9 4 1 17
2 4ln 2
2 2 2
m m
m m m
+ − + = + −
+ , deci 4
ln 1 4 2
2 m e
m = − ⇒ = −
+ , care convine 2p