Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – 15 martie 2021, testul 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați modulul celui de-al cincilea termen al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 1b = −
și 2 3b = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 7 9f x x x= − + + . Determinați mulțimea valorilor reale ale lui
x pentru care ( ) 0f x > .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )3 3log 1 log 6 2x x− = − − .
5p 4. Determinați numărul natural n , 2n ≥ , pentru care 2 1 5n
n nC A− − = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )3, 1A − , numărul real m și dreapta d de ecuație
( )1 2y m x m= − − . Determinați numărul real m pentru care distanța de la punctul A la dreapta d este
egală cu 0 .
5p 6. Determinați ( )cos 2x
π − , știind că x este număr real și 2
cos 3
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
3 1 1
1 1
2 1
A a a
a
 
 

−
= −
−

 
 
și sistemul de ecuații
3 1
3
2 2
x y z
x ay z
x ay z
+ − =
 − + =
 + − =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 32A = − .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care matricea ( ) ( ) ( )B a A a A a= ⋅ are două elemente egale
cu 0 .
5p c) Pentru 1a = , arătați că sistemul de ecuații nu are soluții.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 1 1
2 2
x y x y xy∗ = + − .
5p a) Arătați că ( )3 3 9− ∗ = .
5p b) Demonstrați că 1 1 1
4 2 2
x y x y
  
∗ = − − −  
   , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care 1 1
2 4 4
x x−
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
3 4
1 x
f x x x
= − + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3
3 2
' x x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Calculați ( )
4
4 '
lim 4
x
x
f x
x→
⋅
− .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2 1x
xe x
f x x
− +
= .
5p a) Arătați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) ln 2 2 2021x
F x x e x= + − + este o primitivă a funcției f .
5p b) Arătați că ( )
1
2 4 3
e e
f x dx e e= − +∫ .
5p c) Calculați ( )
2
1
x f x dx∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ este 3q = − 2p
( )( )44
5 1 1 3 81b b q= = − − = − , deci 5 81b = 3p
2. ( )( )2
2 7 9 0 2 9 1 0x x x x− + + > ⇔ − + < 2p
9
1, 2
x  
∈ − 
  3p
3. 3
1 1 1
log 2
6 6 9
x x
x x
− −
= − ⇒ =
− − 3p
3
2
x = , care convine 2p
4. ( ) 21 5 3 10 0
2
n n n n n
− − = ⇔ − − = 3p
Cum n este număr natural, 2n ≥ , obținem 5n = 2p
5. Distanța de la punctul A la dreapta d este egală cu 0 A d⇒ ∈ 2p
( )1 1 3 2 2m m m− = − ⋅ − ⇔ = 3p
6.
( ) 2
2 2
cos 2 cos 2 1 2cos 1 2 3
x x x
π  
− = − = − = − ⋅ = 
  3p
4 1
1 2 9 9
= − ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
3 1 1 3 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1 2
det
2 1
A A
 
 
− −
= − − =
−
⇒ = 
  −  2p
6 2 2 4 1 6 3− + − + − = −= 3p
b)
( ) ( ) ( ) 2
2
8 3 2 1
5 1 2
4 2 1
a
B a A a A a a a a a
a a a a
− −
= ⋅ = − + + − −
+ − − + − +
 
 
 
 
 
, pentru orice număr real a 2p
Matricea ( )B a are două elemente egale cu 0 dacă 2a = − sau 1a = 3p
c)
Pentru 1a = , sistemul devine
3 1
3
2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
 + − =
și adunând primele două ecuații ale sistemului
obținem 3 4x y z x y z+ − + − + = , deci 1x =
3p
Adunând a doua și a treia ecuație din sistem, obținem 5
2 5 3
x y z x y z x− + + + − = ⇒ = , deci
sistemul nu are soluții
2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( )
1 1
3 3 3 3 3 3
2 2
− ∗ = ⋅ − + ⋅ − − ⋅ = 3p
3 3 9 9
2 2
= − + + = 2p
b) 1 1 1 1
4 2 2 4
x y xy x y∗ = − + + − = 2p
1 1 1 1 1 1 1
4 2 2 2 4 2 2
x y y x y
      
= − − + − = − − −      
       , pentru orice numere reale x și y 3p
c) 11 1 1 1 1
2 4 2
4 2 2 4 2
x x x−  
− − − = ⇔ =  
   sau 1 1
4 2
x− = 3p
1x = − sau 1
2
x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
3 5
1 22 2
' 3
' 1 3 4 3 1 4 2
f x x x x x
− −
− −
    = − + − = ⋅ − − ⋅ − =     
3p
( )
2 2 3 3
3 23 6 3 6 x xx x
x x x x x
−− +
= − + = = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) 2
3 4
lim lim 1 1
x x
x
f x x x→ +∞ → +∞
 
= − + − = −  
  3p
Dreapta de ecuație 1y = − este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) ( )
( )
( )
( )( )3 34 4 4
4 3 2 4 3 24 '
lim lim lim
4 4 2 2
x xx
x x x
x x x xf x
x x x x x x→ → →
⋅ − ⋅ −⋅ = = =
− − − + 3p
( )34
4 3
lim 6
2
x
x
x
x x→
− ⋅
= = −
+ 2p
2.a) ( ) ( ) 1'ln 2 2 2021 2 2x x
F x x e x e
x
′ = + − + = + − = 3p
( )
1 2 2x
xe x f x
x
+ −
= = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
e e
f x dx F x F e F= = − =∫ 3p
2 4 3e
e e= − + 2p
c)
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
1 1
2
2 2 1 2 2 1
x x
x f x dx xe x dx x e x x= − + = − − + =∫ ∫ 3p
2 2
2 4 2 2 2e e= − + = − 2p