Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2021 – 15 martie 2021, testul 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul  2
3 4 3 2 3a     este întreg.
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   2 3f x x  și :g ℝ ℝ ,   2
4 2g x x x  . Determinați
abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f și g .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2 4 2
2 64 2x x x    .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr a din mulțimea  2, 1, 1, 3,4A    , acesta să verifice
inegalitatea 2 2 1 3a a   .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră paralelogramul MNPQ cu  2,3M ,  5, 4N și  4,0P .
Determinați ecuația dreptei MQ .
5p 6. Triunghiul ABC este înscris într-un cerc de rază 5 . Arătați că sin sin sin 1000
AB AC BC
A B C  
   .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea   2
, 1 1
a a
A a b b b
 
  
  
, unde a și b sunt numere reale.
5p a) Arătați că   det 1,0 0A  .
5p b) Demonstrați că, dacă  ,0a   şi  0,b   , atunci matricea  ,A a b este inversabilă.
5p c) Determinați matricea  2X  ℝ
M pentru care    1,3 2,1A X A  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă   2
3 3
x y xy x y    .
5p a) Arătați că   7
1 1 3
   .
5p b) Demonstrați că 1 1 1
3 3 3 3
x y x y
  
     
  
 , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Calculați 1 1 1
1 2 3 2021
  …  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
1
1 1
f x x
   .
5p a) Arătați că  
 22
2
'
1
x
f x
x


, x  ℝ .
5p b) Demonstrați că dreapta de ecuație 2021y  este paralelă cu asimptota spre  la graficul funcției
f .
5p c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției f .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   sinx
f x e x .
5p a) Arătați că    
2
1
1
sin
f x dx e e
x   .
5p b) Calculați  
2
0
f x dx

 .
5p c) Arătați că  
2
6
ln 22
f x
dx
f x e
 

 
 
    .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 3
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2
3 4 3 2 3 3 4 3 7 4 3a = + − + = + − + = 3p
3 4 3 7 4 3 4= + − − = − , care este număr întreg 2p
2. ( ) ( ) 2 2 3
2 3 4 2 4
f a g a a a a a= ⇔ + = + ⇔ = 3p
3
2
a = − sau 3
2
a = 2p
3. 2 4 2 6 2 2
2 2 2 4 2 6 3 4 0x x x x x x x x+ + = ⋅ ⇔ + + = + ⇔ + − = 3p
4x = − sau 1x = 2p
4. Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 2p
Numerele a din mulțimea A care verifică inegalitatea 2 2 1 3a a− + ≥ sunt 2− și 4 , deci
sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 5
p = = 1p
5. MQ NPMQ NP m m⇒ =
 , deci 4MQm = 3p
Ecuația dreptei MQ este ( )3 4 2y x− = − , deci 4 5y x= − 2p
6. 2
sin sin sin
BC AC AB R
A B C
= = = și, cum 5R = , obținem sin 10
BC
A = , sin 10
AC
B = și sin 10
AB
C = 3p
sin sin sin 10 10 10 1000
BC AC AB AB AC BC
A B C ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 1 1 1
1,0 det 1,0
1 1 1 1
A A
− − 
= ⇒ = = 
− −  2p
( )1 1 0= − − − = 3p
b) ( )( ) ( )
2
det , 2 1
1 1
a a
A a b b a
b b
−
= = − +
+ − , pentru orice numere reale a și b 2p
( ),0a ∈ −∞ și ( ) ( )( )0, 1 1 det , 0b b a A a b∈ +∞ ⇒ − + > ⇒ ≠ , deci ( ),A a b este inversabilă 3p
c)
( ) 1 1
1,3 4 2
A − 
=  
 
, ( )( )det 1,3 6A = , deci ( )1,3A este inversabilă și ( )( ) 1
1 1
3 6
1,3 2 1
3 6
A −
 
 
=  
 − 
 
3p
( )( ) ( )
1
1,3 2,1X A A
−
= ⋅ și, cum ( ) 2 0
2,1 2 0
A  
=  
 
, obținem 1 0
1 0
X  
=  
−  2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 3
2.a) ( ) ( ) ( )( ) 2
1 1 3 1 1 1 1 3
− = ⋅ ⋅ − − + − + = 2p
2 7
3 3 3
= − + = − 3p
b) 1 1 1 1 1
3 3
3 3 3 3 3
x y xy x y x y y
   
= − − + + = − − − + =   
   
 3p
( )
1 1 1 1 1
3 1 3
3 3 3 3 3
y x x y
    
= − − + = − − +    
     , pentru orice numere reale x și y 2p
c) 1 1
3 3
x = și 1 1
3 3
y = , pentru orice numere reale x și y 2p
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 32 3 2021 2 3 8 10 2021
  
= =  
  
  …   …   …
1 1 1 1
3 310 2021
 
= = 
 
 …
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
1' 1 1 1 '
' 1'
1
x x
f x
x
⋅ + − ⋅ +
= − =
+
2p
( ) ( )
2 22 2
2 2
1 1
x x
x x
−
= − =
+ +
, x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 2
1
lim lim 1 1 1
1x x
f x y
x→+∞ →+∞
 
= − = ⇒ = 
+  este ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcției
f , deci panta asimptotei spre +∞ la graficul funcției f este egală cu 0
3p
Panta dreptei de ecuație 2021y = este egală cu 0 , deci asimptota spre +∞ la graficul funcției
f și dreapta de ecuație 2021y = sunt paralele, deoarece au pante egale 2p
c)
( ) ( )
( )
2
32
2 1 3
''
1
x
f x
x
−
=
+
, x ∈ ℝ și ( ) 1
" 0 3
f x x= ⇔ = − sau 1
3
x = 2p
( )" 0f x ≤ , pentru orice 1
, 3
x  
∈ −∞ − 
  , ( )" 0f x ≥ , pentru orice 1 1
,
3 3
x  
∈ − 
  și
( )" 0f x ≤ , pentru orice 1 ,
3
x  
∈ +∞ 
  , deci 1
3
x = − și 1
3
x = sunt punctele de inflexiune
ale funcției f
3p
2.a) ( )2 2 2
1 1 1
sin
sin sin
x xf x e x
dx dx e dx
x x
= = =∫ ∫ ∫ 2p
( )2
2 1
1
x
e e e e e= = − = − 3p
b)
( )
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2sin sin sin ' cos cos sin
0 0
x x x x x x
e xdx e x e x dx e e x dx e e x e xdx
π
π
π
π
π
π
π
π
= − = − = − − =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
2
2
0
1 sinx
e e xdx
π
π
= + − ∫ , deci
2 2
0
1
sin 2
x e
e xdx
π
π
+
=∫ 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 3 din 3
c)
( )
2
2 2 2
2
6 6 6
sin cos 12 2 2ln sin
sinsin
6
x
x
f x e x x
dx dx e dx x
f x xe x e
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
−
−
   
− −   
   = = − = − ⋅ =∫ ∫ ∫ 3p
1 1 1 ln 2
ln sin ln sin ln1 ln
2 6 2e e e
π
π
π
π
π      
= − − = − − = −      
       2p