Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că2 3 4
1 1 1 1 3
1 3 43 3 3
− + − +  .
5p 2. Se consideră funcția:f → ,( )
3 18f x x= − + . Determinați abscisa punctului de intersecție a
graficului funcțieif f cu axaOx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia3 2 5
2 2 2 9x x x− − −
− + = .
5p 4. Determinați termenul care nu îl conține pex din dezvoltarea14
3 1
x x
 
+ 
  , unde( )
0,x  + .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )
,1A a și( )
2,5B − , undea este număr real.
Determinați numărul reala , știind că mijlocul segmentuluiAB aparține dreptei de ecuație2 3y x= + .
5p 6. Calculați lungimea laturiiAB a triunghiuluiABC , știind cătg 1C = și că triunghiulABC este
înscris într-un cerc de rază3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea( )
1 1
1 1 1
1 1 1
a
A a a
 
 
= + 
 −  , undea este număr real.
5p a) Arătați că( )
( )
det 3 10A = .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr naturaln ,2n  , rangul matricei( )
A n este egal cu3 .
5p c) Arătați că, pentru orice număr naturalm ,2m  , inversa matricei( )
A m nu are toate elementele
numere întregi.
2. Pe mulțimea( )
2,M = + se definește legea de compoziție asociativă4
4
xy
x y x y
−
= + − .
5p a) Arătați că8 8 5= .
5p b) Arătați că( ) ( ) ( )
2 2 4x y x y+ +  + , pentru orice,x y M .
5p c) Demonstrați că, dacăx M șin este număr natural,2n  , astfel încâtde 2 ori
1
2 2n
n
n
x
x x x x = − ,
atuncix este pătratul unui număr natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția( ): 3,f + → ,( ) ( )
( )
2
ln 3 2ln 9f x x x= − − − .
5p a) Arătați că( ) ( )
2
3 1
9
x
f x x
−
 = − ,( )
3,x  + .
5p b) Demonstrați că funcțiaf este bijectivă.
5p c) Arătați că( ) ( )
( )
3
lim 3 0
x x f x
→ − = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia( )
: 2,2f − → ,( )
2
2 4
x
f x x x
= + − .
5p a) Arătați că( )
3
22
2
1
5
84
x
f x dx
x
 
− =  − 
 .
5p b) Arătați că( ) ( )
( )
( )
1
1
4 1 ln 3f x f x dx
−
+ − = − .
5p c) Determinați( )
0, 3a  , pentru care( )
3
3 1
a
x f x dx− = − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.5
2 3 4
1
1
1 1 1 1 3
1 1 13 3 3 3 1 3
 
− − 
 − + − + =  =
 
− − 
 
3p5
3 1 3
1
4 43
 
= +  
 
2p
2.( )( ) ( ) ( )
0 3 18 0 6f f x f x f x=  − + =  = 3p3 18 6 4x x− + =  =
, deci abscisa punctului de intersecție a graficului funcțieif f cu
axaOx este egală cu4 2p
3.( )
2 3 2
2 2 1 2 9 2 1x x− −
− + =  = 3p2x =
2p
4.( )
84 7
42 3143 2 2
1 14 14 14
1 k kk kkk k k
kT C x C x C x
x
−
− −−
+
 
= = = 
 
, unde 
0,1,2, ,14k  3p84 7 0 12
2
k k
− =  =
, deci12
13 14 91T C= = nu îl conține pex 2p
5. Punctul2 ,3
2
a
M − 
 
  este mijlocul segmentuluiAB 3p2
3 2 3 2
2
a a
−
=  +  =
2p
6. ÎnABC ,tg 1 4
C C

=  = , deci2
sin 2
C = 3p2
2 2 3 3 2
sin 2
AB
R AB
C
=  =   =
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )
( )
3 1 1 3 1 1
3 1 4 1 det 3 1 4 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 
=  = = 
 − − 
2p( ) ( )
12 1 1 4 3 1 10= + + − − − − − =
3p
b)( )( ) 2
det 2A a a a= + − , pentru orice număr reala , deci( )
( )
det 0 1A a a=  = sau2a = − 3p
Cum( )
( )
det 0A n  , pentru orice număr naturaln ,2n  , rangul matricei( )
A n este egal
cu3 , pentru orice număr naturaln ,2n  2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) Pentru orice număr natural2m  ,( )
A m este inversabilă, deci( )
1
A m− are toate elementele
numere întregi dacă( )
( )
det 1A m = − sau( )
( )
det 1A m = 3p
Cum2m  , obținem( )
( )
2
det 2 4A m m m= + −  , deci( )
1
A m− nu are toate elementele
numere întregi 2p
2.a)8 8 4
8 8 8 8 4
 −
= =
+ − 3p60 5
12
= =
2p
b)( ) ( )
2 2
2 2 xy x y
x y x y
+ +
+ + = + ,( )
4 4 4
4 x y
x y x y
+ −
+ = + , pentru orice,x y M 2p( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 2 4
2 2 4 x yxy x y
x y x y x y x y
− −− − +
+ + − + = =
+ +
, pentru orice,x y M și,
cum2x  și2y  , obținem că( ) ( ) ( )
2 2 4x y x y+ +  + , pentru orice,x y M
3p
c)2 4 2
2 4 2
x x
x x x
− +
= =
− ,1
de 2 ori
2 2
2n
n
n
x
x
x x x x
+
+ −
= , undex M șin este număr natural,2n  3p1
2 2 1
2
2 2
n n
n n
x +
+ − = −( )
22
2 2 2 1 2 1n n n
x x = −  +  = −
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( )
2
1 2
' 2
3 9
x
f x x x
= −  =
− − 3p( )
2 2
3 13 4
9 9
xx x
x x
−+ −
= =
− −
,( )
3,x  + 2p
b)( )
' 0f x  , pentru orice( )
3,x f +  este strict descrescătoare pe( )
3, + , decif este
injectivă 2p
Cumf este continuă pe( )3, + ,( )
3
lim
x f x
→ = + și( )
lim
x f x
→+ = − , obținem căf este
surjectivă, decif este bijectivă
3p
c)( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3 3 3 3
2
3 1
' 9lim 3 lim lim lim
1 11 '
3 3 3
x x x x
x
f x f x xx f x
x x x
→ → → →
−
− −− = = = =
  − − −  −
3p( )( ) ( )( )
2
23 3
3 1 3 3 1 3
lim lim 0
39x x
x x x x
xx→ →
− − − −
= = =
+−
2p
2.a)( )
3 3
2 22 2
2
1 1
3
2
24 1
x x
f x dx x dx
x
 
− = = =  − 
 
3p1 9 5
1
2 4 8
 
= − = 
 
2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
b)( ) ( )
( )
1 1 1 12 2
2 2 2
1 1 1 1
12 4 4 4 2
2 2 1 2 ln 24 4 4 1
x x x
f x f x dx dx dx dx x xx x x− − − −
 − + − 
+ − = = = + = + =   +− − −    −
   
3p( )
1
2 1 ln 1 ln 3 4 1 ln 3
3
 
= + + − = − 
 
2p
c)( )
3 3 32 2 2
2 2
3
4 4 1
4 4a a a
x x
x f x dx x x dx dx x a
x ax
− = − − = = − − = − −
− −
  
,( )
0, 3a  3p2 2
4 3 1a a− =  =
și, cum( )
0, 3a  , obținem1a = 2p