Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați produsul elementelor mulțimii { }3 27 log 21A x x= ∈ < ≤ℕ .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x= + . Determinați abscisele punctelor de intersecție a
graficului funcției f cu dreapta d de ecuație 5 2y x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2
2 9 3 3 0x x
⋅ − − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să aibă cifrele numere prime distincte.
5p 5. Se consideră punctul M în planul triunghiului ABC astfel încât 2MB MC AB− =
   . Arătați că
patrulaterul AMBC este paralelogram.
5p 6. Calculați tg x , știind că 3
, 2
x
π
π
 
∈ 
  și 8
sin 17
x = − .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
2 1 1
a a
A a a
a
+ 
 
= − − 
 − 
și sistemul de ecuații
( )
( )
1 5
10
2 1
a x y az
x y az
a x y z a
 + + + = −
 − − =
 − + + = −
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 4A = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care sistemul de ecuații nu este compatibil determinat.
5p c) Determinați numărul natural a pentru care sistemul are soluția unică ( )0 0 0, ,x y z și 0x este număr
întreg.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru
5
xy
x y x y∗ = + − .
5p a) Arătați că 1 5 5∗ = .
5p b) Determinați numărul real x , 0x ≥ , pentru care 5x x∗ = .
5p c) Determinați valorile reale ale lui a , 5a ≠ , pentru care simetricul lui a în raport cu legea de
compoziție „ ∗ ” este strict mai mic decât 0 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( ) ( )1 ln 1f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( ) 2
' 1 ln 1 1
f x x x
= + + − + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Calculați ( ) 1
lim
x f x f x→+∞
  
  
   .
5p c) Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției f , sunt concurente.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 3
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
2
1
1 7x x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )
1 2
0
f x dx∫ .
5p c) Știind că ( ): 1,F − +∞ → ℝ , ( ) ( )2 1 1 6 1 4F x x x x= + + − + + este o primitivă a funcţiei f ,
arătați că ( ) ( )
3
0
32f x F x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3
1 7 2< < și 24 log 21 5< < , deci { }2,3,4A = 3p
Produsul elementelor mulțimii A este egal cu 24 2p
2. ( ) 2 2
4 5 2 2 0f x y x x x x x= ⇔ + = + ⇔ − − = 3p
Abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu dreapta d sunt 1x = − și 2x = 2p
3. 2 2 2
2 3 3 3 0 3 3x x x
⋅ − − = ⇔ = 3p
2 1x = , deci 1
2
x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre, care au cifrele numere prime distincte, are
4 3 2 24⋅ ⋅ = de elemente, deci sunt 24 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 24 2
nr. cazuri posibile 900 75
p = = = 1p
5. MB MC AB MB MB CM AB BM− = − ⇔ + = +



 



 


 


 


 



 


 



 3p
CB AM=



 



 , deci AMBC este paralelogram 2p
6. 2 2 225
cos 1 sin 289
x x= − = 2p
Cum 3
, 2
x
π
π
 
∈ 
  , obținem 15
cos 17
x = − , deci 8
tg 15
x = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
3 1 2 3 1 2
2 1 1 2 det 2 1 1 2
0 1 1 0 1 1
A A
 
 
= − − ⇒ = − − = 
 
 
2p
( )3 2 0 0 6 1 4= − + + − − − − = 3p
b) ( )( ) 2
det 2A a a a= + − , pentru orice număr real a 2p
Sistemul de ecuații nu este compatibil determinat ( )( )det 0A a⇔ = , deci 2a = − sau 1a = 3p
c) Sistemul are soluția unică ( )0 0 0, ,x y z , deci { }\ 1a ∈ ℕ și 0
5
2
x a
= + 3p
( )0 2 5x a∈ ⇔ +ℤ și, cum { }\ 1a ∈ ℕ , obținem 3a = 2p
2.a) 1 5
1 5 1 5 5
⋅
∗ = + − = 3p
1 5 1 5= + − = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 5 10 25
5
x
x x x x+ − = ⇔ = + , unde x este număr real, 0x ≥ 2p
( )2
5 0x − = , de unde obținem 25x = 3p
c) 0 0x x x∗ = ∗ = , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul neutru al legii de
compoziție „ ∗ ” 1p
( )' 0 5 5 ' ' 0 ' 5 5a a a a aa a a a∗ = ⇔ + − = ⇔ − = , deci 5
' 5
a
a a
= − , pentru orice număr real a ,
5a ≠ , unde 'a este simetricul lui a
3p
( )
5 0 0,5
5
a a
a < ⇔ ∈
− 1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) 1
' ln 1 1 1
f x x x x
= + + − ⋅ =
+ 3p
( ) ( )
1 2 2
ln 1 1 ln 1
1 1
x
x x
x x
+ −
= + + = + + −
+ + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) ( ) ( )
2
11 1
lim lim ln 1 ln 1
x x
x
f x f x
x x x→+∞ →+∞
 −     = − + + =           
2p
( ) ( )
2
2
1 1
lim ln 1 ln 1
x
x
x x xx→+∞
 −   = − + + = −∞    
3p
c) ( ) ( )2
3
'' 0
1
x
f x
x
+
= >
+
, pentru orice ( )0, 'x f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( )0, +∞ 2p
'f este injectivă pe ( )0, +∞ , deci ( ) ( )f a f b′ ′≠ , pentru orice ( ), 0,a b ∈ +∞ , cu a b≠ , de
unde obținem că tangentele la graficul funcției f în punctele ( )( ),A a f a și ( )( ),B b f b
sunt concurente, pentru orice ( ), 0,a b ∈ +∞ , cu a b≠
3p
2.a)
( )
2 2 2 3
1 1
2
1 3 1
x x f x dx x dx x+ = = =∫ ∫ 3p
8 1 7= − = 2p
b)
( )
1 1 12 2 2
0 0 0
19 1 1 1
9 9 1 9 ln 1
1 1 1 2 0
x x x
dx dx x dx x x
x x x
 − +  
= = − + = − + + =    + + +   
∫ ∫ ∫ 3p
1 1
9 1 ln 2 0 9 ln 2
2 2
   
= − + − = −   
    2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
0 0
31
' 2 0
f x F x dx F x F x dx F x= = =∫ ∫ 3p
( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 1
3 0 8 0 32
2 2
F F= − = − = 2p