Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul elementelor mulțimii { }2 1 10M n n= ∈ + <ℕ .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 10f x x x m= − + , unde m este număr real. Determinați
numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției f este situat pe axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 7x x+ − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să nu fie multiplu de 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A și ( )1,3B − . Determinați coordonatele
punctului C astfel încât 2 0AB BC+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC cu 4AB = , 5AC = și aria egală cu 6 . Calculați
cosinusul unghiului A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1 1
2 1
a a
A a a
a
+ 
 
= + 
 
 
și sistemul de ecuații
( )
( )
1 6 3
1 4 7
2 2 6
x a y az a
x y a z a
x ay z a
 + + + = +
 + + + = +
 + + = +
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( ) ( )2
det 2 1A a a= + , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) ( )0 0A a A A A a⋅ = ⋅ .
5p c) Demonstrați că, dacă ( )0 0 0, ,x y z este soluția sistemului de ecuații, atunci 0x , 0y și 0z sunt
termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
2. Pe mulțimea [0, )M = +∞ se definește legea de compoziție ( )2
2
x y
x y xy
+
∗ = + .
5p a) Arătați că 0x x∗ = , pentru orice x M∈ .
5p b) Arătați că 2x y∗ < , pentru orice , [1, )x y ∈ +∞ .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale nenule pentru care m n∗ este număr natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 4 5x
f x e x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 1x
f x e x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )lim
x
f x
→+∞
− .
5p c) Demonstrați că graficul funcției f intersectează orice dreaptă paralelă cu axa Ox în cel mult un
punct.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3
4 1f x x= + .
5p a) Arătați că ( )
1
0
2f x dx =∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )( )
1 32
0
x f x dx∫ .
5p c) Demonstrați că ( )( )
1
lim ln
x
x f t dt
→+∞ = +∞∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9
2 1 10 2
n n+ < ⇔ < 2p
Cum n este număr natural, obținem că mulțimea M are 5 elemente 3p
2. 100 4m∆ = − , 25Vy m= − 2p
Vârful parabolei asociate funcției f este situat pe axa 0 25VOx y m⇔ = ⇔ = 3p
3. ( )2
5 7 5 7x x x x− = − ⇒ − = − , deci 2 15 54 0x x− + = 3p
6x = , care convine; 9x = , care nu convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Sunt 9 10 8 720⋅ ⋅ = de numere naturale de trei cifre care nu sunt multipli de 5, deci sunt 720
de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 720 4
nr. cazuri posibile 900 5
p = = = 1p
5. 0 0AB BC BC AC BC+ + = ⇔ + =



 


 


  


 


  , deci punctul C este mijlocul segmentului AB 3p
Coordonatele punctului C sunt 1Cx = , 7
2
Cy = 2p
6. sin 4 5 sin 3
6 sin
2 2 5
ABC
AB AC A A A
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
A 3p
2 2 16
cos 1 sin 25
A A= − = și, cum unghiul A este ascuțit, obținem 4
cos 5
A = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( ) ( ) ( )22
1 1
det 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1
a a
A a a a a a a a a
a
+
= + = + + + − − + − + = 3p
( )2 2
2 2 2 1a a= + = + , pentru orice număr real a 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 3 2 2 2 1 2 2 2 1
0 1 1 1 , 0 2 4 2 2 , 0 4 2 2 2 2
2 0 1 4 2 1 4 3 2 2 1
a a a a a
A A a A a a A A a a a
a a a a a
+ + + + +     
     
= ⋅ = + + ⋅ = + +     
     + + + + +     
,
pentru orice număr real a
3p
3 2 2 2 1 2 2 2 1
2 4 2 2 4 2 2 2 2 0
4 2 1 4 3 2 2 1
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+ + + + +   
   
+ + = + + ⇔ =   
   + + + + +   
2p
c) Sistemul este compatibil determinat și are soluția ( )0 0 0, ,x y z , cu 0 1x = , 0 2y = și 0 4z = 3p
Cum 2
0 0 04x z y= = , obținem că 0x , 0y și 0z sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )2 0
0 0 2
x
x x
+
∗ = =
⋅ + 3p
2
2
x x= = , pentru orice x M∈ 2p
b) ( )2 2 2 2 4 2
2 2 2
2 2 2
x y x y xy xy x y
x y xy xy xy
+ + − − − − +
∗ − = − = = − ⋅ =
+ + + 3p
( )( )1 1 1
2 0
2
x y
xy
− − +
= − ⋅ <
+ , pentru orice , [1, ) 2x y x y∈ +∞ ⇒ ∗ < , pentru orice , [1, )x y ∈ +∞ 2p
c) Cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem 0 2m n< ∗ < și, cum m n∗ este număr
natural, obținem 1m n∗ = 2p
( ) ( )( )
2 1 2 2 2 0 2 2 2
2
m n mn m n m n
mn
+ = ⇔ − − + = ⇔ − − =
+ şi, cum m şi n sunt numere
naturale nenule, obținem perechile ( )3, 4 şi ( )4,3
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
' 4 5 2 4x x
f x e x x e x= − + + − = 3p
( ) ( )22 2 1 1x x
e x x e x= − + = − , x ∈ ℝ 2p
b)
( ) ( ) 2
2 4 5
lim lim 4 5 limx
xx x x
x x
f x e x x e
−
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
− = + + = = 2p
2 4 2
lim lim 0x xx x
x
e e→+∞ →+∞
+
= = = 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = , ( )' 0f x > pentru orice ( ),1x f∈ −∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( ),1−∞
și ( )' 0f x > pentru orice ( )1,x f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( )1, +∞ 2p
Cum funcția f este continuă în 1x = , obținem că f este strict crescătoare pe f⇒ℝ este
injectivă, deci graficul funcției f intersectează orice paralelă la Ox în cel mult un punct 3p
2.a)
( ) ( )
1 3 4
0
1
4 1 0
x dx x x+ = + =∫ 3p
1 1 2= + = 2p
b)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )431 1 13 332 2 3 3 3
0 0 0
14 11 1'4 1 4 1 4 1
12 12 4 0
x
x f x dx x x dx x x dx +
= + = + + = ⋅ =∫ ∫ ∫ 3p
4
5 1 13
48
−
= = 2p
c) 3
4 1 5t + ≥ , pentru orice [ ) ( )( ) ( ) ( )3
1 1 1
1, ln ln 4 1 ln 5 1 ln 5
x x x
t f t dt t dt dt x∈ +∞ ⇒ = + ≥ = −∫ ∫ ∫ ,
pentru orice [ )1,x ∈ +∞
3p
Cum ( )lim 1 ln 5
x
x
→+∞
− = +∞ , obținem ( )( )
1
lim ln
x
x f t dt
→+∞ = +∞∫ 2p