Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele 3 4 , 3log 9 și 3 16 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră o funcție impară :f →ℝ ℝ . Demonstrați că funcția :g →ℝ ℝ , ( ) ( )( )2
g x f x= este
pară.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1
2 2 2 2 2 2x x x+
− ⋅ = − .
5p 4. Determinați termenul care îl conține pe 8
x din dezvoltarea
10
2
1
x x x
 
+ 
  , unde ( )0,x ∈ +∞ .
5p 5. În planul triunghiului ABC se consideră punctul M , astfel încât 2 AM AB AC= +
   . Determinați
numărul real k , știind că BC k CM= ⋅
  .
5p 6. Determinați ( )0,x
π∈ , știind că sin 2 6cos sin 3 0x x x+ − − = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
2 0 1
1 1 0
4 1 1
A
− 
 
= − 
 − − 
și ( )
1 1 1
1 1
1
M m m
m m m
− − 
 
= − 
 − − 
, unde m este număr real.
5p a) Arătați că det 1A = − .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real m , rangul matricei ( )M m este cel puțin egal cu 2 .
5p c) Determinați numărul real m , 1m ≠ − , știind că inversa matricei ( )M m este matricea A .
2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție 1 2 1 2 1 2z z z z z z= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 2 9i i+ − = .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul a , numărul ( )( ) ( )( )1 1 1 1A a i a i= − + + − + − este
real strict mai mic decât 0 .
5p c) Determinați numerele complexe z pentru care 5z z = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
ln 3
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
2
' 1 3
f x x x
= + + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f .
5p c) Calculați ( )( )lim
x x f x
→+∞
.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 1 x
f x x e−
= + .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
2
2 3
x
e f x dx− = −∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )
1
ln
e
f x dx∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1
0
n
nI x f x dx= ∫ . Calculați lim n
n
I
→+∞
.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 33 3
4 16 4 4⋅ = = = 3p
( )22 3
32 log 9 4= = ⇒ , 3log 9 și 3 16 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 2p
2. ( ) ( )f x f x− = − , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2
g x f x f x f x g x− = − = − = = , pentru orice număr real x , deci funcția
g este pară 3p
3. ( ) ( ) ( )( )2
2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0x x x x x x x x
− ⋅ − ⋅ + = ⇔ − − − = ⇔ − − = 3p
1x = sau 1
2
x = 2p
4.
( ) ( )3 10 30 7
210 2 2
1 10 10 102
1 k kk kkk k k
kT C x x C x C x
x
− −
−−
+
 
= = = 
  , unde { }0,1, 2, ,10k ∈ … 3p
30 7 8 2
2
k k
− = ⇔ = , deci 2 8
3 10T C x= îl conține pe 8
x 2p
5. ( )1
2
AM AB AC= +
   , deci punctul M este mijlocul segmentului BC 3p
2BC CM= −
  , deci 2k = − 2p
6. ( ) ( ) ( )( )2sin cos 6cos sin 3 0 2cos sin 3 sin 3 0 sin 3 2cos 1 0x x x x x x x x x+ − − = ⇔ + − + = ⇔ + − = 2p
sin 3 0x + ≠ , deci 1
cos 2
x = și, cum ( )0,x
π∈ , obținem 3
x
π
= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 0 1
det 1 1 0 2 1 0 4 0 0
4 1 1
A
−
= − = + + − − − =
− −
3p
3 4 1= − = − 2p
b) Cum 1 1 1
1 m m
m m
− − = − + − =
− 3p
1 0= − ≠ , deci matricea ( )M m are rangul cel puțin egal cu 2 , pentru orice număr real m 2p
c)
( ) 3
1 0 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0
2 0 1 0 0 1
M m A I m m
m
   
   
⋅ = ⇔ + − − =   
   − −   
3p
2m = − , care convine 2p
2.a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2i i i i i i+ − = + + − + + − = 3p
2
4 4 9i= + − = 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1A a i a i a i a i= − + + − + − + − + + − + − = 2p
( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 1 1 1 0ai a i a i a a= − + + − − − + − − = − < , pentru orice număr real nenul a 3p
c) 2 2
2 5 2 5 0z z z z+ = − ⇔ + + = 3p
1 2z i= − − sau 1 2z i= − + 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( ) 1 1
' ln 1 ln 3 ' 1 3
f x x x x x
= + − + = − =
+ + 3p
( )
( )( ) ( )( )
3 1 2
1 3 1 3
x x
x x x x
+ − +
= =
+ + + + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )
1 1
1
1
lim lim ln 3x x
x
x
f x x→ − → −
>−
+
= = −∞
+ 3p
Dreapta de ecuație 1x = − este asimptota verticală la graficul funcției f 2p
c)
( )( ) 1 1 2
lim lim ln lim ln lim ln 1
3 3 3
x x
x x x x
x x
x f x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ + −     
= = = + =     
+ + +      2p
2
3 3
2 22
lim ln 1 ln 2
3
x
x x
x e
x
−
+ +
− −
→+∞
 
−  = + = = −  +  
 
3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 3
2
0 0
1
2 1 3 0
x x
e f x dx x dx x
 
− = − = − =  
 
∫ ∫ 3p
1 2
1
3 3
= − = − 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 2
1 1 1
1 ln
ln ln 1 ln 1 ln ln
3 1
e e e ex
f x dx x dx x x dx x
x
 
′= + ⋅ = + ⋅ = + =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
1 4
1
3 3
= + = 2p
c)
( ) ( )2
1
' 0x
x
f x e
−
= − ≤ , pentru orice număr real x , deci f este descrescătoare, de unde
obținem că ( ) ( ) ( )1 0f f x f≤ ≤ , pentru orice [ ]0,1x ∈
2p
Pentru orice [ ]0,1x ∈ , ( ) ( )
2 2
1 n n n
f x x x f x x
e e
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ , deci ( )
2 1
1 1
nI
e n n
≤ ≤
+ + , de
unde obținem că lim 0n
n I
→+∞ =
3p