Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , pentru care 2 2 6z z i− = − + .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x m= + , unde m este număr real pozitiv. Determinați
numărul real pozitiv m pentru care numerele ( )0f , ( )1f și ( )2f sunt, în această ordine, termeni
consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )5 52log 1 log 3 1x x− = + .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }0,1, 2, ,20A = … , pătratul acestui
număr să aparțină mulțimii A .
5p 5. Se consideră punctele A , B , C și D , astfel încât 2 AD BD AC= +
   . Demonstrați că AB DC=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 30° . Arătați că lungimea laturii BC este
egală cu lungimea razei cercului circumscris triunghiului.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0 0
1 0
0 1
A m m
m
 
 
=  
 
 
, unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )( )det 8A m A m+ − = , pentru orice număr real m .
5p b) Determinați numărul real m pentru care are loc egalitatea ( ) ( ) ( )0A m A m A⋅ = .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 4 ... 2 1 2 1 0A A A A A n A n n A A− + − + + − − = − − , pentru
orice număr natural nenul n .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
4x y x xy y∗ = + + .
5p a) Arătați că 1 3 11
2 2 2
∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )( ) ( )( ) 24x x x x x∗ − ∗ − ∗ = .
5p c) Demonstrați că 1 6x x
∗ ≥ , pentru orice număr real nenul x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
2
x
f x
x
+
=
+
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )2 2
2 1
'
2 2
x
f x
x x
−
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )( )2
lim x
x
f x
→+∞
.
5p c) Demonstrați că 22 2
3
x xe e
+ ≤ + , pentru orice număr real x .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3
ln 4
f x x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )( )3
1
e
x x f x dx−∫ .
5p c) Arătați că ( )
2 3
1
1 2 5
3
e e
f x dx
x
−
=∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2 6 3 2 6a ib a ib i a ib i+ − − = − + ⇔ − + = − + , unde z a ib= + , ,a b ∈ ℝ 3p
2a = și 2b = , deci 2 2z i= + 2p
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2
1 0 2 1 4 2 1 4f f f m m m m m m m= ⋅ ⇔ + = + ⇔ + + = + 3p
2 1m = , deci 1
2
m = , care convine 2p
3. ( )2 2
1 3 1 5 0x x x x− = + ⇒ − = 3p
0x = , care nu convine; 5x = , care convine 2p
4. Mulțimea { }0,1, 2, ,20A = … are 21 de elemente, deci sunt 21 de cazuri posibile 2p
Numerele din mulțimea A al căror pătrat aparține mulțimii A sunt 0, 1, 2, 3 și 4, deci sunt
5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5
nr. cazuri posibile 21
p = = 1p
5. AD BD AC AD− = −
    2p
AD DB AC DA AB DC+ = + ⇔ =
      3p
6. 2
sin
BC R
A = , unde R este raza cercului circumscris triunghiului 2p
Cum 1
sin 2
A = , obținem 2 2BC R= , deci BC R= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
2 0 0
0 2 0
0 0 2
A m A m
 
 
+ − =  
 
 
, pentru orice număr real m 2p
( ) ( )( )
2 0 0
det 0 2 0 8 0 8
0 0 2
A m A m+ − = = − = , pentru orice număr real m 3p
b)
( ) ( ) 2
1 0 0
2 1 0
2 1
A m A m m
m m
 
 
⋅ =  
 
 
, pentru orice număr real m 3p
( ) ( ) ( ) 2
1 0 0 1 0 0
0 2 1 0 0 1 0 0
0 0 12 1
A m A m A m m
m m
   
   
⋅ = ⇔ = ⇔ =   
     
2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c)
( ) ( )
0 0 0
2 1 2 1 0 0
0 1 0
A k A k
 
 
− − = − 
 − 
, pentru orice număr natural nenul k 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0
1 2 3 4 ... 2 1 2 1 0 0 1 0
0 1 0
A A A A A n A n n n A A
 
 
− + − + + − − = − = − − 
 − 
, pentru
orice număr natural nenul n
3p
2.a) 2 2
1 3 1 1 3 3
4
2 2 2 2 2 2
   
∗ = + ⋅ ⋅ + =   
    3p
1 9 11
3
4 4 2
= + + = 2p
b) ( ) ( ) 2
2x x x x x∗ − = − ∗ = − , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )2 2 4
2 2 24 24 24x x x x x− ∗ − = ⇔ = , de unde obținem 0x = sau 1x = 3p
c) 2 2
2 2
1 1 1 1
4 4x x x x
x x x x
∗ = + ⋅ ⋅ + = + + , pentru orice număr real nenul x 2p
2
2 2
2 2
1 1 1 1
6 4 6 2 0x x x x
x xx x
   
∗ − = + + − = − + = − ≥   
    , deci 1 6x x
∗ ≥ , pentru orice
număr real nenul x
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( )2
2
2
2 2
2' 2
x
x x
xf x x
+ − + ⋅
+= =
+
3p
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 12 2
2 2 2 2
xx x x
x x x x
−+ − −
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( )( ) ( )2 2
2
2 2 2
2 4 4 4 2
lim lim lim lim 1
2 2 2
x x x
x
x x x x
x x x x
f x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
   + + + +  = = = + =     + + +   
3p
( )
2 2
4 2
2 2
4 2 4
2
4 2
lim 1 2
x x
x x
x
x
x e
x
+
+ +
+
→+∞
 
 + 
= + =  
+  
 
2p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este crescătoare pe ( ],1−∞ și ( ) 0f x′ ≤ , pentru
orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )1, +∞ și, cum ( )1 3f = , obținem că
( ) 3f x ≤ , pentru orice număr real x
3p
( ) 2
2
2 2
3 3 2
32
x x
x x
x
e e
f e e
e
+ +
≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ +
+
, pentru orice număr real x 2p
2.a)
( )( )
2 2 4
3
1 1
2
ln 4 1
x
f x x dx x dx+ = = =∫ ∫ 3p
4 1 3
4 4 4
= − = 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
b)
( )( ) 2 2 2 2
3
1 1 1
1
ln ln
2 2 2 41 1
e e ee ex x e x
x x f x dx x x dx x dx
x
− = = − ⋅ = − =∫ ∫ ∫ 3p
2 2 2
1 1
2 4 4 4
e e e +
= − + = 2p
c)
( ) ( )
2 2 2 2
3 3 2
1 1 1
1 1 1 1 2 1
ln ln ln
2 3 4 1
e e e e
f x dx x x dx x x dx x x
x x x
    
= − = − ⋅ = − =     
     
∫ ∫ ∫ 3p
( ) 3
3 2 2 32 2 1 2 2 1 2 5
ln 4
3 3 4 3 3 4 3
e
e e e −
= − − = − − ⋅ = 2p