Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 12

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați partea întreagă a numărului 4
2
a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x mx= + + , unde m este număr real. Determinați
numerele reale m , știind că axa Ox este tangentă la graficul funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuația ( )( ) ( )1 2 2 1x x x x− + = + − .
5p 4. Determinați numărul natural n , 2n ≥ , știind că mulțimea { }3, 4,5, , 2n +… are exact 55 de
submulțimi cu 2 elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 1d și 2d , de ecuații 2 1 0x y− + = , respectiv
2 0x y+ + = . Determinați ecuația dreptei d care este perpendiculară pe dreapta 2d și trece prin
punctul de intersecție a dreptelor 1d și 2d .
5p 6. Arătați că 5 6
sin sin
12 12 2
π π
+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1
, 1 3
3 2
x
A m x m
x
− 
 
=  
 − 
, unde m și x sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 4,2 0A = .
5p b) Determinați rangul matricei ( )2,1A .
5p c) Determinați perechile de numere naturale nenule și distincte ( ),n p pentru care
( )( ) ( )( )det 3, det 3,A n A p= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru
6
3
xy
x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că ( )1 3 3− ∗ = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 3x y z x y x z∗ + − = ∗ + ∗ − , pentru orice numere reale x , y și z .
5p c) Determinați numerele reale x , 3x ≠ pentru care ( )( ) ( )( )' 3 ' 2 3 42x x x x x∗ + − + ∗ − = , unde 'x
este simetricul lui x în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x ax= + − , unde a este număr real.
5p a) Pentru 0a = , arătați că ( ) 2
'
2
x
f x
x
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați numărul real a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă
2x = , situat pe graficul funcției f , este paralelă cu axa Ox .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , graficul funcției f admite asimptotă spre +∞ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 arctgf x x x= .
5p a) Arătați că ( )3
1
20
arctg
x f x dx
x =∫ .
5p b) Arătați că ( )3
1
5 3 1
12 2
f x dx
x
π −
= −∫ .
5p c) Demonstrați că ( )
1
0
lim 0n
n f x dx
→+∞ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 12
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2a = 2p
Cum 4 8 9< < , deci 2 3a< < , obținem că [ ] 2a = 3p
2. Axa Ox este tangentă la graficul funcției 0f ⇒ ∆ = 2p
2 4 0m − = , deci 2m = − sau 2m = 3p
3. ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2
1 2 1 2 1 2 1 0x x x x x x x− + = − + ⇒ − + + = 2p
2x = − , care nu convine; 1x = − , care nu convine; 1x = , care convine 3p
4. ( )2 21
55 55 110 0
2
n
n n
C n n
−
= ⇒ = ⇒ − − = 3p
Cum n este număr natural, 2n ≥ , obținem 11n = 2p
5. Punctul de intersecție a dreptelor 1d și 2d este punctul ( )1, 1M − − 2p
2 1dm = − și, cum 2 1d dm m⋅ = − , obținem 1dm = , deci ecuația dreptei d este y x= 3p
6. 5 5
5 12 12 12 12sin sin 2sin cos 2sin cos
12 12 2 2 4 6
π π π π
π π
π π+ −
+ = = = 3p
2 3 6
2 2 2 2
= ⋅ ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 2 1 2 2 1
4, 2 1 4 3 det 4, 2 1 4 3
3 2 2 3 2 2
A A
− − 
 
= ⇒ = = 
 − − 
2p
( ) ( ) ( ) ( )16 2 18 12 12 4 0= + − + − − − − − − = 3p
b)
( ) ( )( ) ( )( )
2 1 1
2,1 1 2 3 det 2,1 0 rang 2,1 2
3 2 1
A A A
− 
 
= ⇒ = ⇒ ≤ 
 − 
3p
Cum 2 1 5 0
1 2
− = ≠ , obținem că rangul matricei ( )2,1A este egal cu 2 2p
c) ( )( )2 2
3 1 3 1 3 0n n p p n p n p− + = − + ⇔ − + − = 2p
Cum n și p sunt numere naturale nenule și distincte, obținem 3n p+ = , iar perechile sunt
( )1, 2 și ( )2,1 3p
2.a) ( ) ( )
3
1 3 1 3 6
3
−
− ∗ = − − − + = 3p
1 1 3 6 3= − + − + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 12
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) ( )
3
3 3 6 2 9
3 3
x y z xy xz
x y z x y z x y z
+ − +
∗ + − = − − + − + = − − − + = 2p
( ) ( )6 6 3 3
3 3
xy xz
x y x z x y x z= − − + + − − + − = ∗ + ∗ − , pentru orice numere reale x , y și z 3p
c) 6 6x x x∗ = ∗ = , pentru orice număr real x , deci 6e = este elementul neutru al legii de
compoziție „ ∗ ”, de unde obținem că ' ' 6x x x x∗ = ∗ = , unde 'x este simetricul lui x în
raport cu legea de compoziție „ ∗ ”
2p
Deoarece 2 3 3x x x− = + − și ( ) ( ) ( )3 3x y z x y x z∗ + − = ∗ + ∗ − , pentru orice , ,x y z ∈ ℝ ,
obținem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 3 ' ' 3 42 6 3 6 6 3 42x x x x x x x x x x∗ + ∗ − + ∗ + ∗ − = ⇔ ∗ + − + + − = , deci
2
30 2 6 30
3
x
x x x∗ = ⇒ − + = , de unde obținem 6x = − sau 12x = , care convin
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 2
2
1 '2 ' 2
2 2
f x x f x x
x
= + ⇒ = ⋅ + =
+ 3p
2 2
2
2 2 2
x x
x x
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul funcției f ,
este paralelă cu axa ( )' 2 0Ox f⇔ = 2p
Cum ( ) 2
'
2
x
f x a
x
= −
+
, pentru orice număr real a , obținem că 2 0
2 a− = , deci 2
2
a = 3p
c)
( ) 22
2
1
2
lim lim lim 1
x x x
x a
f x xx ax a
x x x→+∞ →+∞ →+∞
 
+ − 
+ −  = = = − , pentru orice număr real a 3p
( ) ( )( ) ( )2
2
2
lim 1 lim 2 lim 0
2x x x
f x a x x x
x x→+∞ →+∞ →+∞
− − = + − = =
+ +
, deci, pentru orice număr
real a , dreapta de ecuație ( )1y a x= − este asimptotă spre +∞ la graficul funcției f
2p
2.a) ( )3 3 4
3
1 1
3
arctg 4 1
x f x x
dx x dx
x = = =∫ ∫ 3p
81 1 20
4
−
= = 2p
b) ( ) ( )
3 3 3 32 2
2
2
1 1 1 1
31 1 1 1 1'1 arctg arctg 2 1
2 2 2 3 4 211
f x x x
dx x x dx x dx dx
x x
π π+ +
= + = − = ⋅ − − =
+
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
35 1 5 3 1
12 2 12 21
x
π
π −
= − = − 2p
c)
Pentru orice *n ∈ ℕ și orice [ ]0,1x ∈ , 2
0 1n
x≤ ≤ și 0 arctg 0 arctg
4 4
n
n
x x
π
π 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤  
  ,
de unde obținem că ( )
1 1
0 0
0 4 4
n n
n
f x dx dx
π
π   
≤ ≤ =   
   
∫ ∫
3p
Cum lim 0
4
n
n
π
→+∞
  = 
  , obținem că ( )
1
0
lim 0n
n f x dx
→+∞ =∫ 2p