Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 11

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că( ) ( )
3 2
3 6 2 1 2 5− + − = .
5p 2. Se consideră funcțiile:f → ,( ) 3f x x= − și:g → ,( ) 2 2 6g x x mx= − − , undem este
număr real. Determinați numărul realm , știind că graficul funcțieif intersectează axaOx într-un
punct în care și graficul funcțieig intersectează axaOx .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuația( )2
2 3log 4 12 log 27x x− + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă suma cifrelor divizibilă cu3 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )4,0A − ,( )1,3B − și( )1,C m , undem este
număr real. Determinați numărul realm pentru care triunghiulABC este dreptunghic înB .
5p 6. Arătați că25 23
sin cos 1
6 3


+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea( )
1 1 1
, , 1 1 1
1 1 1
a
A a b c b
c
+ 
 
= + 
 +  și sistemul de ecuații( )
( )
( )
1 0
1 0
1 0
a x y z
x b y z
x y c z
 + + + =
 + + + =
 + + + = ,
undea ,b șic sunt numere reale nenule.
5p a) Arătați că( )( )det 2,0,2 4A − = − .
5p b) Arătați că, dacă0abc ab ac bc+ + +  , atunci matricea( ), ,A a b c este inversabilă.
5p c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații admite și soluții diferite de soluția( )0,0,0 , atunci
numărul1 1 1
N a b c
= + + este întreg.
2. Pe mulțimea( )0, 2G = se definește legea de compoziție asociativă2
xy
x y xy x y
 = − − + și se
consideră funcția( ) ( ): 0, 0, 2f + → ,( ) 2
1
f x x
= + .
5p a) Arătați că1 1 1 = .
5p b) Demonstrați că( ) ( ) ( )f x f y f xy = , pentru orice( ), 0,x y  + .
5p c) Determinați numărul naturaln pentru care1 2 3 2020 2
2 3 4 2021 1
n
f f f f n
       
    =        +        .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția( ): 0,f + → ,( ) 2
2 ln 3f x x x x= − + .
5p a) Arătați că( ) ( )
1
1
lim 0
1x
f x f
x→
− =
− .
5p b) Arătați că funcțiaf este convexă pe( )0,1 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p c) Demonstrați că1
2ln x x x
 − , pentru orice( )1,x  + .
2. Pentru fiecare număr natural nenuln se consideră numărul1
0 1
n
n n
x
I n dx
x
= +
 .
5p a) Arătați că1
1
0
1 1
1
I dx
x
+ =
+ .
5p b) Arătați că2 2 2
I

= − .
5p c) Demonstrați căln 2nI  , pentru orice număr natural nenuln .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 11
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.( )2
1 2 1 2 2 1− = − = − 2p
Cum( )3
3 6 2 6 2− = − , obținem că( ) ( )
3 2
3 6 2 1 2 6 2 2 1 5− + − = − + − = 3p
2.( ) 0 3f x x=  = , deci graficul funcțieif intersectează axaOx în punctul( )3,0 2p( )3 0 9 6 6 0g m=  − − =
, deci1
2
m = 3p
3.( )2 2 2
2log 4 12 3 4 12 8 4 4 0x x x x x x− + =  − + =  − + = 3p2x =
, care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are90 de elemente, deci sunt90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor divizibilă cu3 sunt numerele
naturale de două cifre care sunt divizibile cu3 , deci sunt30 de cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 30 1
nr. cazuri posibile 90 3
p = = =
1p
5.1AB BCAB BC m m⊥   = − 2p
Cum1ABm = și3
2
BC
m
m −
= , obținem3 1
2
m − = − , deci1m = 3p
6.25 1
sin sin 4 sin
6 6 6 2

 

 
= + = = 
  2p
Cum23 5 5 1
cos cos 6 cos
3 3 3 2




 
= + = = 
  , obținem că25 23 1 1
sin cos 1
6 3 2 2


+ = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
2,0, 2 1 1 1 det 2,0, 2 1 1 1
1 1 3 1 1 3
A A
− − 
 
− =  − = = 
 
 
2p( )3 1 1 1 1 3 4= − + + − − − − = −
3p
b)( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
det , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
a
A a b c b a b c a b c
c
+
= + = + + + + + − + − + − + =
+
2p0abc ab ac bc= + + + 
, deci matricea( ), ,A a b c este inversabilă 3p
c) Sistemul este compatibil nedeterminat, deci( )( )det , , 0 0A a b c abc ab ac bc=  + + + = 3p1
ab ac bc
ab ac bc abc abc
+ +
+ + = −  = −
, deci1 1 1 1N a b c
= + + = − , care este număr întreg 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 11
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2

 = = =
 − − + − − + 3p1 1
1
= =
2p
b)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 2 2 22 2
1 1 1 1
f x f y x y
f x f y f x f y f x f y
x y x y

+ +
 = = =
− − +  − − +
+ + + +
2p( ) ( ) ( )( ) ( )
4 4 2
4 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 f xy
y x x y xy xy
= = = =
− + − + + + + + +
, pentru orice( ), 0,x y  + 3p
c)1 2 3 2020 2 1 2
...
2 3 4 2021 1 2021 1
n n
f f
n n
   
    =  =   
+ +    , unden este număr natural 3p2 2 2 2021 2
1 1 2022 11
2021
n n
n n

=  =
+ ++
, deci2021n = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( )' 2ln 2 2f x x x= − + ,( )0,x  + 3p( ) ( ) ( )
1
1
lim ' 1 0
1x
f x f f
x→
− = =
−
2p
b)( ) ( )2 1
'' x
f x x
−
= ,( )0,x  + 2p
Cum( )'' 0f x  , pentru orice( )0,1x  , obținem că funcțiaf este convexă pe( )0,1 3p
c)( )'' 0f x  , pentru orice( )1, 'x f +  strict descrescătoare pe( ) ( ) ( )1, ' ' 1x f x f +   ,
deci( )' 0f x  , pentru orice( )1,x + 2pf
continuă șif strict descrescătoare pe( ) ( ) ( )1, 1f x f+   , pentru orice( )1,x  + ,
deci2
2 ln 3 2x x x− +  , de unde obținem1
2ln x x x
 − , pentru orice( )1,x  + 3p
2.a)1 1 1 1 1
1
0 0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1
x x
I dx dx dx dx dx
x x x x x
 
+ = + = + = = 
+ + + + + 
    
3p1 1
0
x= =
2p
b)( )
1 12
2 2 2
0 0
11
2 2 1 2 arctg
1 1 0
x
I dx dx x x
x x
 
= = − = − = 
+ + 
 
3p2 1 2
4 2
  
= − = − 
 
2p
c)( )( ) ( )( )
1 1 1
0 0 0
' '
ln 1 ln 1
1
n n n
n n
x
I n dx x x dx x dx
x
= =  +  + =
+
  
3p( ) 1
ln 1 ln 2
0
n
x= + =
, deciln 2nI  , pentru orice număr natural nenuln 2p