Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați modulul numărului complex ( )( ) ( )2 3 2 3 9 3z i i i= + − − − .
5p 2. Se consideră funcțiile ( ): , 2f f x x→ = −ℝ ℝ și ( ): , 5 20g g x x→ = +ℝ ℝ . Calculați ( )( )2g f .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 1
4 16
x− = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să aibă produsul cifrelor egal cu 8 .
5p 5. Se consideră paralelogramul ABCD cu 4AB = , 6BC = și măsura unghiului ABC de 120° .
Determinați modulul vectorului AM
 , unde punctul M este mijlocul segmentului BD .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 12AB = , 16AC = și 20BC = . Arătați că 2
5
r
R = , unde r este
raza cercului înscris în triunghiul ABC și R este raza cercului circumscris triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
2 1 3
2 1 2 1
a
A a
a
− 
 
=  
 − 
și sistemul de ecuații
( )
2 2
2 3 1
2 1 2
ax y z
x y z
a x y z a
+ − =
 + + =
 − + + =
,
unde a este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 4 5A = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care matricea ( )A a nu este inversabilă.
5p c) Pentru 3a = , determinați soluțiile ( )0 0 0, ,x y z ale sistemului de ecuații pentru care 2
0 0 0z x y= + .
2. Pe mulțimea ( )1,G = +∞ se definește legea de compoziție asociativă 3log y
x y x∗ = .
5p a) Arătați că 4 3 2∗ = .
5p b) Arătați că 9e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗ .
5p c) Determinați x G∈ , știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )( )2 2
9 4 3f x x x= − − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 2 2 13f x x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
( )3
sin 3 1
lim 3 30x
x
f x→
− =
− .
5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația ( )f x m= are exact patru soluții reale .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 arctgf x x x= .
5p a) Arătați că ( )2
1
3
arctg
f x dx
x =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Determinați numărul real nenul a pentru care ( )
3
0
3f x dx a
π
= −∫ .
5p c) Demonstrați că ( )
1
1
0x f x dx
−
=∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( ) ( )22
2 3 2 3 9 3 2 3 9 3 4 3z i i i i i i= + − − − = − − + = + 3p
2 2
4 3 5z = + = 2p
2. ( )2 0f = 2p
( )( ) ( )( )2 2 5 0 20 20g f g f= = ⋅ + =
 3p
3. 5 2
4 4 5 2x x− −
= ⇔ − = − 3p
3x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 8 este
{ }118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222 , deci sunt 10 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 10 1
nr. cazuri posibile 900 90
p = = = 1p
5. ABCD este paralelogram, deci 1
2
AM AC=
  2p
( )2 2 2 2 cos 76 2 19 19AC AB BC AB BC ABC AC AM AM= + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = =

∢ 3p
6. 2 2 2
BC AB AC ABC= + ⇒ ∆ este dreptunghic în 10
2
BC
A R⇒ = = 2p
48ABCP∆ = și 12 16 96
96 4
2 24
ABC r∆
⋅
= = ⇒ = =
A , de unde obținem 4 2
10 5
r
R = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
4 1 2 4 1 2
4 2 1 3 det 4 2 1 3
7 2 1 7 2 1
A A
− − 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
( ) ( )4 21 8 14 2 24 5= + + − − − − − = 3p
b) ( )( )det 5 15A a a= − , pentru orice număr real a 2p
Matricea ( )A a nu este inversabilă ( )( )det 0A a⇔ = , deci 3a = 3p
c) Pentru 3a = soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma ( )1 5 , 1 13 ,
α α α+ − − , unde
α ∈ ℝ 3p
2 2
0 0 0 8 0 8z x y
α α α= + ⇔ + = ⇔ = − sau 0
α = , deci ( ) ( )0 0 0, , 39,103, 8x y z = − − sau
( ) ( )0 0 0, , 1, 1,0x y z = − 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 3log 3
4 3 4∗ = = 3p
4 2= = 2p
b) 3log 9 2
9x x x x∗ = = = , pentru orice x G∈ 2p
( )3 3 3 2log 2 log log 2
9 9 3 3x x x
x x x∗ = = = = = , pentru orice x G∈ , deci 9e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
c) 3 3 3log log log
3 39 81 log log 81x x x
x x e x x x∗ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = , deci 2
3log 4x = 3p
3log 2x = − sau 3
1
log 2 9
x x= ⇒ = , care nu convine; 9x = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 2
' 2 4 9 2f x x x x x= ⋅ − + − ⋅ = 3p
( ) ( )2 2 2
2 4 9 2 2 13x x x x x= − + − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )2 2 23 3 3
sin 3 sin 3 sin 3 1
lim lim lim
3 39 4 3 4x x x
x x x
f x xx x x x→ → →
 
− − − = = ⋅ =
 − − − − + −
 
2p
( )( )2
1 1
1 303 3 3 4
= ⋅ =
+ − 3p
c)
( ) 13
' 0 , 0
2
f x x x= ⇔ = − = sau ( )
13; ' 0
2
x f x= < , pentru orice 13 13
, 0,
2 2
x    
∈ −∞ − ∪      
   
și ( )' 0f x > , pentru orice 13 13
,0 ,
2 2
x    
∈ − ∪ +∞      
   
3p
( ) ( )lim lim
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= = +∞ , 13 13 13
2 2 4
f f
   
− = = −      
   
, ( )0 39f = , f continuă pe ℝ ,
f strict descrescătoare pe 13
, 2
 
−∞ −  
 
și pe 13
0, 2
 
  
 
și f strict crescătoare pe 13,0
2
 
−  
 
și pe 13,
2
 
+∞  
 
, deci ecuația ( )f x m= are exact patru soluții reale 13, 39
4
m  
⇔ ∈ − 
 
2p
2.a) ( )2 2 2
1 1
2
2
arctg 1
f x dx xdx x
x = = =∫ ∫ 3p
4 1 3= − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
2
0 0 0
3 31'1 arctg +1 arctg 1 4 310 0
f x dx x x dx x x x dx x
x
π
= + = − + ⋅ = ⋅ − =
+
∫ ∫ ∫ 3p
4 3
3
π
= − , de unde obținem 3
4
a = 2p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1 1
22 2
1 1 1 1 1
2 arctg 2 arctg 1 2 arctgx f x dx x xdx x x dx x xdx x f x dx
−
− − − −
= = − − − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( )
1
1
2 0x f x dx
−
=∫ , deci ( )
1
1
0x f x dx
−
=∫ 2p