Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – 15 martie 2021, testul 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră un număr complexz care are proprietatea2 1z i= − . Arătați că4 2 0z i+ = .
5p 2. Se consideră funcția:f → ,( ) 2 2f x x x m= − + , undem este număr real. Determinați
valorile reale ale luim pentru care( ) 1f x  , pentru orice număr realx .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația( ) ( )5 5log 2 log 2 1 2x x+ + − = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre,
acesta să aibă suma cifrelor divizibilă cu9 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )2,1A ,( )3,2B și( )4,5C . Determinați
coordonatele punctuluiD , știind că0AB AC AD+ + = .
5p 6. Determinați( )0,1x  pentru care( )4cos cos 3 0x x
 − + = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
 
 
=  
 
  şi0 1 0
0 0 1
0 0 0
B
 
 
=  
 
  .
5p a) Arătați cădet 6A = .
5p b) Arătați căA B B B A + =  .
5p c) Determinați numerele realex șiy , știind că( ) ( )1 2x A B y B A B B B+  + −  =   .
2. Pe mulțimea numerelor naturale nenule se definește legea de compozițiey
x y x = .
5p a) Arătați că2 4 4 2 =  .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ” nu este comutativă.
5p c) Determinați numerele naturale nenulen pentru care( )2 2 64n   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f → ,( ) ( )2
2 ln 1f x x x x= + + + .
5p a) Arătați că( ) 2
2
2 4 3
' 1
x x
f x x x
+ +
= + + ,x  .
5p b) Calculați( ) ( )( )lim 1
x
f x f x
→+
+ − .
5p c) Demonstrați că funcțiaf este bijectivă.
2. Se consideră funcția:f → ,( ) 2 1f x x= − .
5p a) Arătați că( )
1
0
0f x dx = .
5p b) Calculați( )
1
0
x
e f x dx .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenuln , se consideră numărul( )
1
0
n
nI f x dx=  . Calculațilim n
n
I
→+ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2 24 2 2
1 1 2 2z z i i i i= = − = − + = − 3p
4 2 2 2 0z i i i+ = − + = 2p
2. 4 4m∆ = − și valoarea minimă a funcției f este 4 4 1
4 1 4
m m
∆ −
− = − = −
⋅ 3p
1 1m − > , deci ( )2,m ∈ +∞ 2p
3. ( )( ) ( )( ) 2
5log 2 2 1 2 2 2 1 25 2 3 27 0x x x x x x+ − = ⇒ + − = ⇒ + − = 3p
9
2
x = − , care nu convine; 3x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale care au suma cifrelor divizibilă cu 9 sunt multiplii de 9 , deci mulțimea
cazurilor favorabile este { }9 12, 9 13, 9 14, , 9 111⋅ ⋅ ⋅ ⋅… și are 100 de elemente 2p
nr. cazuri favorabile 100 1
nr. cazuri posibile 900 9
p = = = 1p
5. AB i j= +
   , 2 4AC i j= +
   și ( ) ( )2 1D DAD x i y j= − + −
   3p
( ) ( )2 4 2 1 0 1D D Di j i j x i y j x+ + + + − + − = ⇒ = −
       și 4Dy = − 2p
6. Cum ( )cos cosx x
π − = − , obținem 2
4cos 3 0x− + = , deci 2 3
cos 4
x = 2p
Pentru ( )0,1x ∈ , cos 0x > , deci 3
cos 2
x = și 6
x
π
= , care convine 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 0 0
det 0 2 0
0 0 3
A = = 2p
1 2 3 0 0 0 0 0 6= ⋅ ⋅ + + − − − = 3p
b) 0 1 0 0 1 0
0 0 2 0 0 1
0 0 0 0 0 0
A B B
   
   
⋅ + = + =   
   
   
3p
0 2 0
0 0 3
0 0 0
B A
 
 
= = ⋅ 
 
 
2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
Cum
0 0 0
0 0 0
0 0 0
B B B
 
 
⋅ ⋅ =  
 
 
, obținem ( )1 2 2 0x y+ + − = şi ( ) ( )2 1 3 2 0x y+ + − = 3p
1x = − , 2y = 2p
2.a) 4
2 4 2 16∗ = = 2p
2
4 2 4 16∗ = = , deci 2 4 4 2∗ = ∗ 3p
b) 1
2 1 2 2∗ = = și 2
1 2 1 1∗ = = 2p
Deoarece 2 1 1 2∗ ≠ ∗ , legea de compoziție „ ∗ ” nu este comutativă 3p
c) ( ) 3
2 2 64 4 64 4 4n
n n∗ ∗ < ⇔ ∗ < ⇔ < 3p
Cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2 1
' 2 1
x
f x x x
+
= + =
+ + 3p
( )2 2
2 2
2 1 2 1 2 4 3
1 1
x x x x x
x x x x
+ + + + + +
= =
+ + + + , x ∈ ℝ 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2
2
3 3
1 2 1 ln 3 3 2 ln 1 2 ln 1
x x
f x f x x x x x x x x x
+ +
+ − = + + + + − − + + = + + + , x ∈ ℝ 2p
( ) ( )( ) 2
2
3 3
lim 1 lim 2 ln 2 ln1 2
1x x
x x
f x f x x x→+∞ →+∞
 + +
+ − = + = + =  + + 
3p
c) ( )' 0f x > , pentru orice număr real x f⇒ este strict crescătoare pe f⇒ℝ este injectivă 2p
( ) ( )2
ln 1
lim lim 2
x x
x x
f x x x→−∞ →−∞
 + +
 = +
  
 
și ( )2 2
2 1
ln 1 1lim lim 0
1x x
x
x x x x
x→−∞ →−∞
+
+ + + += = , deci
( )lim
x
f x
→−∞
= −∞ și, cum ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ și f este continuă pe ℝ , obținem că f este
surjectivă, deci f este bijectivă
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
2 1 0
f x dx x dx x x= − = − =∫ ∫ 3p
1 1 0= − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 12
10 0 0
2
1 1
2 1 1 2 2 1 3 2 2 32 1
0 2
x x x x x x
e f x dx e x dx e x dx e x dx e x e x= − = − + − = − + − =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
2 3 2 4 3e e e e e= − − + = − − 2p
c)
( ) ( )
( )
( )
( )
1 11
0
12 1 1 1
2 1 2 1 2 10
n n
n
n
x
I x dx n n
+ +
− − −
= − = =
+ +∫ , unde n este număr natural nenul 3p
Cum 1
0 1
nI n
≤ ≤ + , obținem lim 0n
n
I
→+∞
= 2p