Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – 15 martie 2021, testul 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex1z i= + . Arătați că2 1z z i− − = − .
5p 2. Determinați cel mai mic număr naturaln pentru care ecuația2 3 3 0x x n− + − = are două soluții
distincte în mulțimea numerelor reale.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația( )5log 25 log 5 4xx + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu2 sau cu3 .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )1, 2A − ,( )4, 2B și( )3,0C . Calculați aria
triunghiuluiABC .
5p 6. Se consideră expresia( ) ( ) ( )sin sin cos cos tg 2E x x x x x x

= − − + + − + , unde0, 4
x
 
 
  .
Arătați că1
8
E
  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
 
 
=  
 
  ,3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
 
=  
 
  și3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
  .
5p a) Arătați că( )3det 1A I+ = .
5p b) Arătați că3A A A O  = .
5p c) Demonstrați că, dacă( )3X  pentru careA X X A =  , atunci există numerele realea ,b șic
, astfel încât3X aI bA cA A= + +  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compozițiex y x y = − .
5p a) Arătați că( )5 2 1 2  = .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ” este comutativă.
5p c) Demonstrați că( ) ( )a b b c a c +    , pentru orice numere realea ,b șic .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția:f → ,( ) 2 2 1
x
x x
f x e
− +
= .
5p a) Arătați că( ) ( )( )1 3
x
x x
f x e
− − −
 = ,x  .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcțieif .
5p c) Demonstrați că3
21 2
x
x e
−
−  , pentru orice )1,x  + .
2. Se consideră funcția( ): 1,f − + → ,( ) 1f x x= + .
5p a) Arătați că( )
2 2
0
4f x dx = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați( )( )
1
0
ln f x dx .
5p c) Demonstrați că există un singur număr realx , )0,x  + , pentru care( )
0
2021
x f t
e dt = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
1 2 1z z i i i i i− − = + + − − − = 3p
1 2 1 1 2 1i i= + − − − = − 2p
2. ( )9 4 3 4 3n n∆ = − − = − 2p
3
0 4
n∆ > ⇔ > , deci 1n = 3p
3. ( )2
5 5
5
1
2 log 4 log 1 0
log
x x
x
+ + = ⇒ − = 3p
5log 1x = , deci 5x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În această mulțime există 45 de numere divizibile cu 2 , 30 de numere divizibile cu 3 și
15 numere divizibile atât cu 2 cât și cu 3 , deci sunt 45 30 15 60+ − = de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 60 2
nr. cazuri posibile 90 3
p = = = 1p
5. Distanța de la punctul C la dreapta AB este egală cu 2 2p
5 2
5 5
2
ABCAB ∆
⋅
= ⇒ = =
A 3p
6. ( )sin sinx x
π − = , ( ) ( )cos cos tg 2x x E x x
π − = − ⇒ = , pentru orice 0, 4
x
π 
∈ 
  3p
tg 1
8 4
E
π π  = = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )3 3
1 1 0 1 1 0
0 1 1 det 0 1 1
0 0 1 0 0 1
A I A I
 
 
+ = ⇒ + = = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b) 0 0 1
0 0 0
0 0 0
A A
 
 
⋅ =  
 
 
2p
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A A A O
 
 
⋅ ⋅ = = 
 
 
3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c)
Pentru ( )3
a b c
X d e f
g h i
 
 
= ∈ 
 
 
ℝ
M , obținem
0 0 0
d e f
A X g h i
 
 
⋅ =  
 
 
și
0
0
0
a b
X A d e
g h
 
 
⋅ =  
 
 
2p
0A X X A d h⋅ = ⋅ ⇒ = = , 0g = , a e i= = , b f= , deci 30
0 0
a b c
X a b aI bA cA A
a
 
 
= = + + ⋅ 
 
 
,
unde a , b și c sunt numere reale
3p
2.a) 5 2 5 2 3∗ = − = 2p
( )5 2 1 3 1 3 1 2∗ ∗ = ∗ = − = 3p
b) ( )x y x y y x∗ = − = − − = 2p
y x y x= − = ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ∗ ” este
comutativă 3p
c) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c a b b c a b b c∗ + ∗ = − + − ≥ − + − = 3p
a b b c a c a c= − + − = − = ∗ , pentru orice numere reale a , b și c 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
'
x x x
x x
x e x x e e x x x
f x e e
− − − + − − + −
= = = 3p
( )( )2 1 34 3
x x
x xx x
e e
− − −− + −
= = , x ∈ ℝ 2p
b) ( )' 0 1f x x= ⇔ = sau 3x = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],1−∞ , ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [1,3]x f∈ ⇒ este crescătoare pe [1,3] și ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ )3,x f∈ +∞ ⇒
este descrescătoare pe [ )3, +∞
3p
c) f este crescătoare pe [1,3] , f este descrescătoare pe [ )3, +∞ și ( ) 3
4
3f e
= , deci ( ) 3
4
f x e
≤ ,
pentru orice [ )1,x ∈ +∞
2p
( ) ( )
2 23 31 4 1 4 x
x
x e x e
e
− −− ≤ ⇒ − ≤ , deci
3
21 2
x
x e
−
− ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ +∞ 3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
2
0 0
2
1 2 0
x
f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
4 2 4
2
= + = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0 0 0 0
11 1 1 1
ln 1 ln 1 1 'ln 1 1 ln 1
2 2 2 20
x dx x dx x x dx x x dx+ = + = + + = + + − =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
11 1
ln 2 ln 2
2 20
x= − = − 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)
[ ) ( ) ( )
0
: 0, ,
x f t
F F x e dt+∞ → = ∫ℝ derivabilă și ( ) ( )
' 0f x
F x e= > , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 2p
F este strict crescătoare și continuă, ( )0 0F = și ( ) 2021 2021
1
0 0
2021 1 2021t
F e dt dt+
= ≥ =∫ ∫ ,
deci există un singur [ )0,x ∈ +∞ , pentru care ( )
0
2021
x f t
e dt =∫
3p