Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – 15 martie 2021, testul 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul ( ) ( )2 2
1 6 3 2n i i= + + − este întreg negativ, unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x ax= + , unde a este număr real astfel încât ( ) ( )1 5f f= .
Arătați că ( ) ( )2 4f f= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
3 3log 2 2 2log 1x x− = + .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre,
acesta să aibă cifra unităților egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 4A , ( )4,3B − și C , astfel încât AOBC este
paralelogram. Arătați că triunghiul ACB este dreptunghic isoscel.
5p 6. Determinați ( )0,x
π∈ pentru care ( )2sin sin 1x x
π − = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
1 2 3
1 1
a a a
A a
a
+ + 
 
=  
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 1A = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 1A a A A A a= .
5p c) Determinați numărul real a pentru care matricea ( )A a are rangul doi.
2. Pe mulțimea 6ℤ se definește legea de compoziție x y xy x y= + + .
5p a) Arătați că 3 3 3=ɵ ɵ ɵ .
5p b) Arătați că 0ɵ este elementul neutru al legii de compoziție „ ” .
5p c) Demonstrați că funcția 6 6:f →ℤ ℤ , ( ) ɵ4f x x=  este bijectivă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ) ( ): 1,1 1,f − ∪ +∞ → ℝ , ( ) ( ) ( )2 2
1 1
1 1
f x
x x
= −
− +
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
32
4 3 1
1
x
f x
x
− +
′ =
−
, ( ) ( )1,1 1,x ∈ − ∪ + ∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul în care graficul funcției f
intersectează axa Oy .
5p c) Calculați ( ) ( ) ( ) ( )( )lim 2 4 6 2 n
n f f f f n
→+∞ + + + +… .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 2
4
x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 2
0
4 0x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( )
2 3
0
f x dx∫ .
5p c) Demonstrați că ( )
1
0
x
f t dt ≥∫ , pentru orice număr real x .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
1 12 36 9 12 4n i i i i= + + + − + = 2p
1 36 9 4 30= − + − = − , care este număr întreg negativ 3p
2. ( ) ( )1 5 1 25 5 6f f a a a= ⇒ + = + ⇒ = − 2p
( ) 2 6f x x x= − , de unde obținem ( )2 8f = − și ( )4 8f = − , deci ( ) ( )2 4f f= 3p
3. ( )22 2
2 2 1 2 3 0x x x x− = + ⇒ − − = 2p
1x = − , care nu convine; 3x = , care convine 3p
4. Există 900 de numere naturale de trei cifre, deci sunt 900 de cazuri posibile 2p
Dacă cifra unităților este c , 1 9c≤ ≤ , atunci cifra sutelor poate fi aleasă în c moduri, iar
pentru fiecare alegere a cifrei sutelor există o singură alegere a cifrei zecilor; în total sunt
9 8 1 45+ + + =… de cazuri favorabile
2p
nr. cazuri favorabile 45 1
nr. cazuri posibile 900 20
p = = = 1p
5. 5OA OB= = 2p
4
3
AOm = și 3
4
BOm AO BO= − ⇒ ⊥ și, cum AOBC este paralelogram, obținem că AOBC
este pătrat, deci triunghiul ACB este dreptunghic isoscel
3p
6. 2 2
2sin 1 sin 2
x x= ⇒ = − sau 2
sin 2
x = 2p
Cum ( )0,x
π∈ , obținem 2
sin 2
x = , deci 4
x
π
= sau 3
4
x
π
= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 3 4 2 3 4
2 1 2 3 det 2 1 2 3
1 1 2 1 1 2
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
8 4 9 8 6 6 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
3 3 5 4 7 5
1 6 9 12
2 4 6
a a a
A a A
a a a
+ + + 
 
=  
 + + + 
, pentru orice număr real a 2p
( ) ( )
5 8 4 8
1 5 8 4 8
2 4 2 5
a a a
A A a a a a
a a a
+ + + 
 
= + + + 
 + + + 
, pentru orice număr real a , deci ( ) ( ) ( ) ( )1 1A a A A A a=
implică 1a = , care convine
3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
( )( ) ( )2
1 2
det 1 2 3 1
1 1
a a a
A a a
a
+ +
= = − , pentru orice număr real a 3p
Cum 1 2 0
1 1 ≠ , matricea ( )A a are rangul doi 1a⇔ = 2p
2.a) 3 3 3 3 3 3= ⋅ + + =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 2p
3 3 3 3= + + =ɵ ɵ ɵ ɵ 3p
b) 0 0 0x x x x= ⋅ + + =ɵ ɵ ɵ , pentru orice 6x ∈ ℤ 2p
0 0 0x x x x= ⋅ + + =ɵ ɵ ɵ , pentru orice 6x ∈ ℤ , deci 0ɵ este elementul neutru al legii de
compoziție „ ” 3p
c) ɵ ɵ ɵ4 4 0 4= ⇒ɵ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „ ” și simetricul lui este ɵ4 2p
( ) ( ) ɵ ɵ4 4f x f y x y x y f= ⇒ = ⇒ = ⇒  este injectivă, de unde obținem că Im f are 6
elemente, deci 6Im f = ℤ , de unde obținem că f este bijectivă 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 3
2 2
'
1 1
f x
x x
= − + =
− + 3p
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3 2 2
3 3 3 3 32
2 1 1 4 3 1 4 3 1
1 1 1 1 1
x x x x
x x x x x
− − + − + − +
= = =
+ − + − −
, ( ) ( )1,1 1,x ∈ − ∪ + ∞ 2p
b) Cum ( )0 0f = , graficul funcției f intersectează axa Oy în punctul ( )0,0O 2p
( )' 0 4f = , deci ecuația tangentei este 4y x= 3p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
lim 2 4 2 lim 1 3 3 5 2 1 2 1
n
n
n n
f f f n
n n→+∞ →+∞
 
 + + + = − + − + + − =
 − + 
… … 2p
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
0
2 2
1 1
lim 1 lim 1 1
2 1 2 1
n
n n n
n n
e
n n
−
− + +
→+∞ →+∞
 
    −
   = − = + = = 
   + +    
 
3p
2.a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
0 0
2
4 2 2 2 0
x f x dx x dx x x+ = − = − =∫ ∫ 3p
4 4 0= − = 2p
b)
( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2
2 2
0 0 0
2 3 2 32 1
2 ln 4 arctg 24 4 0 0
x x
f x dx dx dx x
x x
= − = + − =
+ +
∫ ∫ ∫ 3p
ln16 ln 4 arctg 3 2ln 2 3
π
= − − = − 2p
c)
Funcția :F →ℝ ℝ , ( ) ( )
1
x
F x f t dt= ∫ este derivabilă și ( ) ( ) ( )
2
2 1
' 4
x
F x f x x
−
= = + , x ∈ ℝ 2p
( )' 0F x ≤ , pentru orice ( ],1x F∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],1−∞ și ( )' 0F x ≥ , pentru
orice [ )1,x F∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ ) ( ) ( )1, 1F x F+∞ ⇒ ≥ , pentru orice număr real
x , de unde obținem că ( )
1
0
x
f t dt ≥∫ , pentru orice număr real x
3p