Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – 15 martie 2021, testul 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul elementelor mulțimii  2 7 7M n n   ℕ .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 6f x x x m   , unde m este număr real. Determinați valorile
reale ale lui m pentru care vârful parabolei asociate funcției f are ordonata strict mai mare decât 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 3x x   .
5p 4. Determinați numărul submulțimilor cu cel mult 2 elemente ale unei mulțimi cu 12 elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  4,1A și  1, 2B  . Determinați coordonatele
punctului de intersecție a paralelei prin A la OB cu paralela prin B la OA .
5p 6. Arătați că 1 1 1
1 tg 1 ctgx x
 
  , pentru orice 0, 2
x
 
 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  
1 2 0
1 2 0
0 0 1
a a
A a a a
a
 
 
   
  
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că   det 1 4A  .
5p b) Demonstrați că      A a A b A a b ab    , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Demonstrați că, dacă a , b și c sunt numere reale pentru care        0A a A b A c A   , atunci
   1 1 1 1a b c    .
2. Pe mulțimea  0,M   se definește legea de compoziție 2 2
x y x y   .
5p a) Arătați că 3 4 5  .
5p b) Determinați x M pentru care 5 1x x   .
5p c) Demonstrați că există o infinitate de perechi  ,m n de numere naturale nenule, pentru care
numerele m , n și m n sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 4 5f x x x x    .
5p a) Arătați că   2
2
4 5 2
4 5
x x x
f x
x x
   
 
 
, x  ℝ .
5p b) Demonstrați că funcția f este strict crescătoare pe ℝ .
5p c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 1f x x  .
5p a) Arătați că  
1
0
4
3
f x dx  .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați  
1
0
x
e f x dx .
5p c) Arătați că   
1
1
ln 2ln 2 1x f x dx

  .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )7 7 9,10+ ∈ și, cum n este număr natural, obținem { }0, 1, 2, 3M = 3p
Mulțimea M are 4 elemente 2p
2. 36 4 9
4
Vm y m
a
∆
∆ = − ⇒ = − = − 3p
( )9 0 9,m m− > ⇔ ∈ +∞ 2p
3. ( )2 2
3 3 7 6 0x x x x+ = − ⇒ − + = 3p
1x = , care nu convine; 6x = , care convine 2p
4. O mulțime cu 12 elemente are 0 1 2
12 12 12
12 11
1 12 2
C C C ⋅
+ + = + + = 3p
13 66 79= + = de submulțimi cu cel mult 2 elemente 2p
5. Paralela prin A la OB intersectează paralela prin B la OA în punctul C OACB⇒ este
paralelogram 2p
OC și AB au același mijloc, deci O C A Bx x x x+ = + , O C A By y y y+ = + , de unde obținem
3Cx = și 3Cy = 3p
6. 1 1 1 1 1 tg
11 tg 1 ctg 1 tg 1 tg tg 11 tg
x
x x x x x
x
+ = + = + =
+ + + + ++ 3p
1 tg 1
1 tg
x
x
+
= =
+ , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 2 0 0 2 0
1 1 3 0 det 1 1 3 0
0 0 2 0 0 2
A A
 
 
= − ⇒ = − = 
 
 
2p
( )0 0 0 0 0 4 4= + + − − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 2 2 2 0
1 2 2 2 0
0 0 1
a b ab b ab a
A a A b a b ab a b ab
a b ab
− − − + + 
 
⋅ = − − − + + + = 
 + + + 
3p
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2 0
1 2 0
0 0 1
a b ab a b ab
a b ab a b ab A a b ab
a b ab
 − + + + + 
 
= − + + + + + = + + 
 + + + 
, pentru orice numere
reale a și b
2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) Cum ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A a A b A c A a b ab A c A a b c ab ac bc abc⋅ ⋅ = + + ⋅ = + + + + + + , obținem
0a b c ab ac bc abc+ + + + + + = 3p
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1a b c ab ac bc abc a b a c a bc a+ + + + + + + = ⇒ + + + + + + + = , de unde
obținem ( )( )1 1 1a b c bc+ + + + = , deci ( )( )( )1 1 1 1a b c+ + + = 2p
2.a) 2 2
3 4 3 4∗ = + = 3p
25 5= = 2p
b) 2
5 5x x∗ = + , x M∈ 2p
Cum 2 2 2
5 1 5 2 1x x x x x+ < + ⇒ + < + + , obținem ( )2,x ∈ +∞ 3p
c) Pentru 3m k= și 4n k= , unde *
k ∈ ℕ , obținem 5m n k∗ = 2p
Cum numerele 3k , 4k și 5k sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, există o
infinitate de perechi de numere naturale nenule ( ),m n , de forma ( )3 , 4k k , pentru care
numerele m , n și m n∗ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2 4
' 1
2 4 5
x
f x
x x
−
= − =
− + 3p
2
2 2
2 4 5 2
1
4 5 4 5
x x x x
x x x x
− − + − +
= − =
− + − +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )22 4 5 2 1 2x x x x− + = − + > − , pentru orice număr real x 2p
( )' 0f x > , pentru orice număr real x , deci f este strict crescătoare pe ℝ 3p
c)
( ) ( ) ( )( )2 2
2
2
4 5 4 5
lim lim 4 5 lim
4 5x x x
x x x x x x
f x x x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
− − + + − +
= − − + = =
+ − +
2p
2
2
5
4
4 5
lim lim 2
4 54 5 1 1
x x
x
x x
x x x x x x
→+∞ →+∞
 
− −  = = =
 + − + + − + 
 
, deci ecuația asimptotei orizontale
spre +∞ la graficul funcției f este 2y =
3p
2.a)
( ) ( )
1 1 3
2
0 0
1
1 3 0
x
f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
1 4
1
3 3
= + = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
1 1 2 2 1 2 2
0 0
x x x x x
e f x dx e x dx e x xe dx e x e= + = + − = − − − =∫ ∫ ∫ 3p
2 1 2 2 3e e= − − = − 2p
c)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 1
2 2 2
1 1 0 0
ln ln 1 ln 1 2 ln 1x f x dx x x dx x x dx x x dx
− −
= − + + + = + =∫ ∫ ∫ ∫ 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2 2 2 2
2
0 0
1 12'1 ln 1 1 ln 1 1 2ln 2 2ln 2 1
10 0
x
x x dx x x x dx x
x
= + + = + + − + = − = −
+
∫ ∫ 3p