Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia aritmetică ( ) 1n n
a ≥ , cu 1 2a = și 3 14a = . Calculați termenul 2a .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x= − . Determinați abscisele punctelor de intersecție a
graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuația 3
7 49x x− = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1,2,3, ,9A = … , numărul 2n + să
fie impar.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 3A − , ( )3,1B și ( ),0C a , unde a este număr
real. Determinați numerele reale a pentru care AB AC= .
5p 6. Arătați că ( ) 2 2
1 sin30 cos 45 cos 60 1+ ° ⋅ ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție 4 4 3x y x y∗ = + − .
5p 1. Arătați că 0 3 9∗ = .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „ ∗” este comutativă.
5p 3. Determinați numărul real x pentru care ( )3 9x− ∗ = .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) 2
2x x x− ∗ = .
5p 5. Determinați numărul real x pentru care 2 2 1x x
∗ = .
5p 6. Determinați numărul real x , știind că scăzând x din numărul 2 4
x x
x  
∗ ∗ 
  , se obține numărul cu 1
mai mic decât x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 1 6
2 7
A  
=  
− − 
și ( ) 2 2
2 2
x
B x x
+ 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că det 5A = .
5p 2. Arătați că ( ) 22 1 3B A I− = .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )21 3 3 2 0B B I B⋅ − = .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) 2 2B x B x x I⋅ = , pentru orice număr real x .
5p 5. Determinați numărul real x pentru care ( )( ) ( )( )det det 1B x B x= + .
5p 6. Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 4 4B B B B B n B n⋅ + ⋅ = ⋅ .

Ministerul Educației
Centrul National de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2
2 14
2 2
a a
a + +
= = = 3p
8= 2p
2. ( ) 2
0 2 0f x x x= ⇔ − = 3p
Abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox sunt 0x = și 2x = 2p
3. 3 2
7 7 3 2x x x x− = ⇔ − = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 2n + este impar sunt 1, 3, 5, 7 și 9 , deci
sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5
nr. cazuri posibile 9
p = = 1p
5. 2 2 2 2
3 4 3AB AC a= ⇔ + = + 2p
2 2
4a = , de unde obținem 4a = − sau 4a = 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
cos 45 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
( ) 2 2 1 2 1 3 1
1 sin 30 cos 45 cos 60 1 1
2 4 4 4 4
 
+ ° ⋅ ° + ° = + ⋅ + = + = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 0 3 4 0 4 3 3∗ = ⋅ + ⋅ − = 3p
12 3 9= − = 2p
2. 4 4 3 4 4 3x y x y y x∗ = + − = + − = 3p
y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ∗” este comutativă 2p
3. ( )3 4 15x x− ∗ = − , pentru orice număr real x 3p
4 15 9x − = , de unde obținem 6x = 2p
4. ( ) ( )2 4 3x x x− ∗ = − , pentru orice număr real x 2p
2 2
4 3 4 3 0x x x x− = ⇔ − + = , de unde obținem 1x = sau 3x = 3p
5. 2 2 8 2 3x x x
∗ = ⋅ − , pentru orice număr real x 2p
1
8 2 3 1 2 2
x x
⋅ − = ⇔ = , de unde obținem 1x = − 3p
6. 3 3
2 4
x x x∗ = − , 16 15
2 4
x x
x x
 
∗ ∗ = − 
  , pentru orice număr real x 3p
16 15 1x x x− − = − , de unde obținem 1x = 2p

Ministerul Educației
Centrul National de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
1 6
det 1 7 6 2
2 7
A = = ⋅ − − ⋅ − =
− − 3p
7 12 5= − + = 2p
2. ( ) ( )
2 3 4 6 1 6 3 0
1 2 1
1 2 2 4 2 7 0 3
B B A
       
=  − = − = =       
− − − − − −        3p
2
1 0
3 3
0 1 I
 
= = 
  2p
3. ( ) ( ) ( )
2 5 7 4
3 1 3
1 2 4 1
B B B
   
=  ⋅ =   
− − −    3p
( ) ( ) ( )2
4 4 2 2
1 3 3 2 2 0
4 4 2 2
B B I B
   
⋅ − = = =   
− − − −    2p
4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 4 4
x x x
B x B x
x x x
 + − + − +
 ⋅ = = 
 − − − − +
 
3p
2 2 2 22
0 1 0
0 10
x x x I
x
   
 = = =     
, pentru orice număr real x 2p
5. ( )( ) 2
det B x x= − și ( )( ) ( )2
det 1 1B x x+ = − + , pentru orice număr real x 3p
( )22 1 2 1 0x x x− = − + ⇔ + = , de unde obținem 1
2
x = − 2p
6. ( ) ( ) 2 23 3 3B B I⋅ = , ( ) ( ) 2 24 4 4B B I⋅ = și ( ) ( ) 2 2B n B n n I⋅ = , unde n este număr natural 3p
2
2 225I n I= , deci 2 25n = și, cum n este număr natural, obținem 5n = 2p