Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2021 – varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 2
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 3 2 18 2⋅ + − = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 3 7g x x= + . Determinați numărul
real a pentru care ( ) ( )f a g a= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 4x+ = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule de o
cifră, numărul n să fie divizor al numărului 18 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2A − și ( )3,B a , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , știind că punctul A aparține dreptei OB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 4BC = și măsura unghiului C de două ori
mai mare decât măsura unghiului B . Determinați lungimea laturii AC a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 3 2x y x y xy∗ = + − − .
5p 1. Arătați că 1 2 1∗ = .
5p 2. Arătați că ( )( )1 3 1 1x y x y∗ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 2
3
e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ “.
5p 4. Determinați numărul real x pentru care ( )2 2 2x x− ∗ = + .
5p 5. Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care 19m n∗ = .
5p 6. Determinați numerele reale a pentru care ( ) ( ) ( ) 2
1 2 3 3a a a a∗ + ∗ + ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 1
2 4
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2
2 4 2
x x
B x x x
− − 
=  
− − 
, unde x este număr
real.
5p 1. Arătați că det 2A = .
5p 2. Arătați că ( )22xA I B x− = , pentru orice număr real x .
5p 3. Arătați că ( )5A A B⋅ = .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det 4B x = .
5p 5. Arătați că ( ) ( ) ( ) 22 1B xy xB y x I− = − , pentru orice numere reale x și y .
5p 6. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) 26 2 3 6x x x
B B I− = .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 3 2 18 3 2 2 2 18⋅ + − = + ⋅ − = 2p
3 2 2 3 2 2= + − = 3p
2. 1 3 7a a+ = + 3p
3a = − 2p
3. 4 2 16x+ = 3p
6x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Divizorii numărului 18 , din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, sunt 1, 2 , 3 , 6
și 9 , deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5
nr. cazuri posibile 9
p = = 1p
5. AO OBA OB m m∈ ⇒ = 2p
2 3
a
− = , deci 6a = − 3p
6. ABC∆ este dreptunghic în A și măsura unghiului C de două ori mai mare decât măsura
unghiului B , deci 30B = °∢ 2p
2
BC
AC = , de unde obținem 2AC = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 2 3 1 3 2 3 1 2 2∗ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − = 3p
3 2 1= − = 2p
2. 1 3 3 3 3x y xy x y∗ = − + + − = 3p
( ) ( ) ( )( )1 3 1 3 1 1 3 1 1x y y x y= − − + − = − − − , pentru orice numere reale x și y 2p
3. ( )
2 2
1 3 1 1 1 1
3 3
x x x x
 
∗ = − − − = + − = 
  , pentru orice număr real x 2p
( )
2 2
1 3 1 1 1 1
3 3
x x x x
 
∗ = − − − = + − = 
  , pentru orice număr real x , deci 2
3
e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ∗”
3p
4. ( )2 2 3 2x x− ∗ = − , pentru orice număr real x 3p
3 2 2x x− = + , de unde obținem 2x = 2p
5. ( )( ) ( )( )1 3 1 1 19 1 1 6m n m n− − − = ⇔ − − = − , unde m și n sunt numere naturale 2p
m și n sunt numere naturale, deci 1 1m − ≥ − și 1 1n − ≥ − , de unde obținem ( )0,7 și ( )7,0 3p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. 1 1a ∗ = , 2 4 3a a∗ = − , 3 7 6a a∗ = − , deci ( ) ( ) ( )1 2 3 12 9a a a a∗ + ∗ + ∗ = − , pentru orice
număr real a 3p
2 2
12 9 3 3 4 0a a a a− = ⇔ + − = , de unde obținem 4a = − sau 1a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
1 1
det 1 4 1 2
2 4
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
4 2 2= − = 2p
2.
2
2 0
2 2 4 0 2
x x
xA I x x
−   
− = − =   
−    3p
( )
2
2 4 2
x x B x
x x
− − 
= = 
− − 
, pentru orice număr real x 2p
3. 3 5
10 18
A A − 
⋅ =  
−  3p
( ) 3 5
5 10 18
B − 
=  
− 
, deci ( )5A A B⋅ = 2p
4. ( )( ) 2
det 2 10 4B x x x= − + , pentru orice număr real x 3p
2 2
2 10 4 4 5 0x x x x− + = ⇔ − = , de unde obținem 0x = sau 5x = 2p
5. ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2B xy xB y xyA I x yA I xyA I xyA xI− = − − − = − − + = 3p
( )2 2 22 2 2 1xI I x I= − = − , pentru orice numere reale x și y 2p
6. ( ) ( ) ( ) 22 3 2 3 2 2 1x x x x x
B B I⋅ − = − , pentru orice număr real x 3p
( )2 2 1 6x − = , de unde obținem 2x = 2p