Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1
1
2
a = și 4 5a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x ax a= + − , unde a este număr real. Determinați numărul
real a pentru care ( ) ( )1 2 0f f+ − = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )61 log 2 6 3x+ + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
poată fi scris sub forma 3
n , unde n este număr natural.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,2A , ( )0,6B , ( )4,2C și punctul D , mijlocul
segmentului BC . Determinați ecuația dreptei AD .
5p 6. Calculați 2sin 30 cos 60 cos120° ° − ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă ( )( )1 1 1
2
x y
x y − −
∗ = + .
5p 1. Arătați că ( )2 5 2∗ − = − .
5p 2. Verificați dacă 3e = este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.
5p 3. Determinați numărul real a pentru care 5 3a ∗ = .
5p 4. Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( )1 5x x∗ − ≥ − .
5p 5. Arătați că există o infinitate de numere naturale n pentru care numărul ( ) ( )1 1N n n= + ∗ +
este natural par.
5p 6. Determinați tripletele ( ), ,m n p de numere naturale, cu m n p< < , pentru care 8m n p∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 3
1 1
A  
=  
−  , 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) de ori An
B n A A A= ⋅ ⋅ ⋅… , unde n este număr natural
nenul.
5p 1. Arătați că det 4A = .
5p 2. Arătați că ( )2det 3A xI+ ≥ , pentru orice număr real x .
5p 3. Arătați că există un număr real a , astfel încât ( ) 23B aI= .
5p 4. Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( )2 2det 2 2 det 0mA I m A I+ + − = .
5p 5. Se consideră matricea ( )2
x y
M z t
 
= ∈ 
 
ℝ
M , astfel încât A M M A⋅ = ⋅ . Arătați că
3 0x y z t+ + − = .
5p 6. Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n , matricea ( )6B n are toate elementele numere
naturale.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
5 3
2 2
r r= + ⇔ = , unde r este rația progresiei 2p
1 2 3 13 3 6a a a a r+ + = + = 3p
2. ( )1 2 2f a= − , ( )2 2f a− = − − , pentru orice număr real a 2p
2 2 2 0a a− − − = , deci 4a = 3p
3. ( ) 2
6log 2 6 2 2 6 6x x+ = ⇒ + = 3p
2 6 36 15x x+ = ⇒ = , care convine 2p
4. Sunt 10 de numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Sunt 3 numere naturale de o cifră care pot fi scrise sub forma 3
n , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10
p = = 1p
5. ( )2,4D 2p
Ecuația dreptei AD este 2y x= + 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = , 1
cos120 2
° = − 3p
1 1 1
2sin 30 cos60 cos120 2 1
2 2 2
° ° − ° = ⋅ ⋅ + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )2 1 5 1
2 5 1
2
− − −
∗ − = + = 3p
3 1 2= − + = − 2p
2. ( )( )1 3 1
3 1 1 1
2
x
x x x
− −
∗ = + = − + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )3 1 1
3 1 1 1
2
x
x x x
− −
∗ = + = − + = , pentru orice număr real x , deci 3e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
3. ( )5 2 1 1 2 1a a a∗ = − + = − , pentru orice număr real a 3p
2 1 3a − = , deci 2a = 2p
4. ( ) 2 2
1 2
x x
x x − + +
∗ − = , pentru orice număr real x 2p
2 22 5 12 0
2
x x x x
− + + ≥ − ⇔ − + + ≥ , de unde obținem [ ]3, 4x ∈ − 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
5. ( ) ( )1 1 1
2
n
N n n= + ∗ + = + , pentru orice număr natural n 2p
De exemplu, pentru 4 2n k= + , unde k ∈ℕ , obținem că ( )2 1N k= + , care este număr natural
par 3p
6. ( )( )( )1 1 1 1
4
m n p
m n p − − −
∗ ∗ = + , pentru orice numere naturale m , n și p 3p
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 8 1 1 1 28
4
m n p m n p
− − − + = ⇔ − − − = și, cum m , n și p sunt numere
naturale, cu m n p< < , obținem tripletele ( )2,5,8 și ( )2,3,15
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 3
det 1 1 1 3
1 1
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
1 3 4= + = 2p
2. ( ) ( )( ) ( )2 2
1 3 1 3
det 1 1 3 1
1 1 1 1
x x
A xI A xI x x
x x
+ + 
+ = ⇒ + = = + + − ⋅ − = 
− + − +  3p
( )2
1 3 3x= + + ≥ , pentru orice număr real x 2p
3. 2 6
2 2
A A − 
⋅ =  
− −  , ( ) ( ) 2
8 0
3 8
0 8
B A A A I
− 
= ⋅ ⋅ = = − 
−  3p
2 28I aI− = , de unde obținem 8a = − 2p
4. ( ) 2
2
2 1 6
det 2 16 4 1
2 2 1
m m
mA I m m
m m
+
+ = = + +
− + și ( )22 det 6m A I m− = , pentru orice număr
real m
3p
2
16 10 1 0m m+ + = , de unde obținem 1
2
m = − sau 1
8
m = − 2p
5. 3 3x z y t
A M x z y t
+ + 
⋅ =  
− + − +  , 3
3
x y x y
M A z t z t
− + 
⋅ =  
− +  , unde x , y , z și t sunt numere reale 2p
3A M M A z y⋅ = ⋅ ⇒ = − și t x= , de unde obținem 3 0x y z t x y y x+ + − = + − − = 3p
6. ( ) 23 8B I= − , deci ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )2
2
de 6 ori de 2 ori 3
6 3 3 3 8 n
n A n B
B n A A A A A A B B B I= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = −… …  , unde n
este număr natural nenul
3p
( ) 26 64n
B n I= , deci ( )6B n are toate elementele numere naturale, pentru orice număr natural
nenul n 2p