Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 4a = și rația este 5r = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x x= − − . Arătați că ( ) ( )0 1f f= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )4 4log 3 4 log 16x + = .
5p 4. După o scumpire cu 25% , un produs costă 350 de lei. Determinați prețul produsului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,1A − și ( ),B a b , unde a și b sunt numere
reale. Determinați numerele reale a și b , știind că punctul O este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , dreptunghic în A . Știind că aria triunghiului ABC este
egală cu 8 , determinați lungimea laturii AB .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 5 2
1 1
A − 
=  
− 
și ( ) 2
1 1
x x
B x − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 3A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 2 6 4 3B B B+ = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )3B x B x B x B x A B− − ⋅ − + = + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 4 25x y x y= + − .
5p a) Arătați că 3 4 0= .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )2 5x x = .
5p c) Determinați numerele întregi m pentru care 2 2
1 1m m≥  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția 1
: ,
3
f  
− +∞ → 
  ℝ , ( ) 2
3 1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
2
'
3 1
f x
x
=
+
, 1 ,
3
x  
∈ − +∞ 
  .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că funcția f este concavă.
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 ln 1f x x x= + − .
5p a) Arătați că ( )( )
4
1
ln 1 21f x x dx− + = .
5p b) Arătați că ( )
4
2
1 ln 5
ln 2
x dx
f x x =
− .
5p c) Determinați ( )1,a ∈ +∞ pentru care ( )
2
1
ln
a f x a a
dx ax
−
= .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 4 2 5a = + ⋅ = 3p
4 10 14= + = 2p
2. ( )0 1f = − 2p
( )1 1f = − , deci ( ) ( )0 1f f= 3p
3. 3 4 16x + = 3p
4x = , care convine 2p
4. 25 350
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul produsului înainte de scumpire 3p
Prețul produsului înainte de scumpire este 280 de lei 2p
5. ( )0,0O este mijlocul segmentului AB , deci 4 0
2
a− + = și 1 0
2
b+ = 3p
4a = , 1b = − 2p
6.
2
ABC
AB AC
∆
⋅
=
A 2p
2 2
8 16
2
AB AB= ⇔ = , de unde obținem 4AB = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
5 2
det 5 1 2 1
1 1
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
5 2 3= − = 2p
b) ( ) 2 4
2 1 1
B − 
=  
− 
și ( ) ( ) ( )
6 12 12 24
6 3 2 6
1 1 4 4
B B B
− −   
=  + = =   
− −    3p
( )
3 6
4 4 3
1 1 B
− 
= = 
−  2p
c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 4 0 0 8 8
0 0 2 2 0 0
x x x x
B x B x B x B x − −    
− − ⋅ − + = =    
−    
, pentru orice număr
real x
3p
Cum ( ) 8 8
3 0 0
A B − 
+ =  
 
, obținem 1x = 2p
2.a) 3 4 3 3 4 4 25= ⋅ + ⋅ − =
 3p
25 25 0= − = 2p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )2 10 25x x x= −
 , pentru orice număr real x 3p
10 25 5x − = , de unde obținem 3x = 2p
c) 2 2
1 3 21m m= −
 și 2 2
1 4 22m m= −
 , pentru orice număr întreg m 2p
2 2 2
3 21 4 22 1 0m m m− ≥ − ⇔ − + ≥ , deci [ ]1,1m ∈ − și, cum m este număr întreg, obținem
1m = − sau 0m = sau 1m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
( )2
2 3 1 2 3
'
3 1
x x
f x
x
+ − ⋅
= =
+ 3p
( ) ( )2 2
6 2 6 2
3 1 3 1
x x
x x
+ −
= =
+ +
, 1 ,
3
x  
∈ − +∞ 
  2p
b) 2 2 2 2
lim lim lim 113 1 333
x x x
x x
x x xx
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
+   ++ 
 
3p
Dreapta de ecuație 2
3
y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( ) ( )3
12
3 1
f x
x
′′ = −
+
, 1 ,
3
x  
∈ − +∞ 
  3p
( ) 0f x′′ ≤ , pentru orice 1 ,
3
x  
∈ − +∞ 
  , deci funcția f este concavă 2p
2.a)
( )( )
4 4 3
2
1 1
4
ln 1 3 1
x
f x x dx x dx− + = = =  3p
64 1 21
3 3
= − = 2p
b)
( )
( ) ( )
24 4 4 2
2 2
2 2 2
411 1 ln 1
ln 2 21 1 2
xx x
dx dx dx x
f x x x x
′
−
= = = − =
− − −
   3p
1 1 1
ln15 ln 3 ln 5
2 2 2
= − = 2p
c) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1
ln 1 1 1'
1 1 ln
a a a a a
f x x
dx dx dx xdx dx
xx x x x
   
= + − = + − − =     
    
2 2
1 1
1 1 1 ln
ln 1
1 1
a aa a a
x x dx dx a
x ax x
= − + − = − −  , pentru orice ( )1,a ∈ +∞
3p
ln ln
1 a a a
a a a
−
− − = , de unde obținem 2a = , care convine 2p