Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2021 – varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 3 1
2 2 : 1
4 2
 
⋅ − = 
  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 4g x x= − . Arătați că
( ) ( )1 1 0f g+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4
2 4x− = .
5p 4. Un produs costă 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A − , ( )3,0B − și ( )0,4C . Calculați perimetrul
triunghiului ABC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , în care 2AC = , 4BC = și unghiul A are măsura egală cu 30° .
Arătați că 1
sin 4
B = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 2
2 1
A − 
=  
 
, 4 3
3 1
B − 
=  
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 7A = .
5p b) Arătați că 22 3B I A+ = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care 2A X B X I X⋅ − ⋅ = − .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − − .
5p a) Arătați că 1 3 3∗ = .
5p b) Arătați că 2e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care ( )6 3x x∗ + ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 4 ln 5f x x
x
= + − .
5p a) Arătați că ( ) 2
4
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 3x
f x e x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3 7x
f x e dx− − =∫ .
5p b) Arătați că ( )( )
1 2
0
5
3 2
x f x x dx− =∫ .
5p c) Determinați ( )0,1a ∈ , știind că ( ) ( )0
1 1
' 6
a
dx
f x f x =
−∫ .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1 3
2 2 : 2 2
4 2 2
   
⋅ − = ⋅ − =   
    3p
1
2 1
2
= ⋅ = 2p
2. ( )1 3f = 2p
( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 1 3 3 0g f g= − ⇒ + = + − = 3p
3. 4 2
2 2 4 2x x− = ⇔ − = 3p
2x = 2p
4. 30 70 21
100 ⋅ = de lei 3p
Prețul după scumpire este 70 21 91+ = de lei 2p
5. 4AB = , 3AC = 2p
5BC = , de unde obținem 12ABCP AB BC AC∆ = + + = 3p
6. 2 4
1sin sin sin
2
AC BC
B A B
= ⇔ = 3p
1
sin 4
B = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
3 2
det 3 1 2 2
2 1
A −
= = ⋅ − − ⋅ = 3p
3 4 7= + = 2p
b)
2
4 3 1 0 9 6
2 2 3 1 0 1 6 3
B I − −     
+ = + = =     
      3p
3 2
3 3
2 1 A
− 
= = 
  2p
c) ( )2 2 2A X B X I X A B I X I⋅ − ⋅ = − ⇔ − + ⋅ = 2p
Cum ( )2
0 1
det 1
1 1
A B I− + = =
− , obținem ( ) 1
2X A B I −
= − + , deci 1 1
1 0
X − 
=  
  3p
2.a) ( )( )1 3 3 1 3 3 3∗ = − − − = 3p
3 0 3= − = 2p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )( )2 3 3 2 3 3 3x x x x∗ = − − − = + − = , pentru orice număr real x 2p
( )( )2 3 2 3 3 3 3x x x x∗ = − − − = + − = , pentru orice număr real x , deci 2e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
c) ( ) ( )( )6 3 3 3x x x x∗ + = − − + , pentru orice număr real x 2p
( )( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 0x x x x− − + ≥ ⇔ − + ≤ , de unde obținem [ ]3,3x ∈ − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
4 1 0f x xx
′ = − + − = 3p
2 2
4 4x x
x x
− + −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )' 0 4f x x= ⇔ = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,4x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]0,4 și ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [ )4,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )4,+∞ 3p
c) ( ) 2
4 ln 5
lim lim 0
x x
f x x
x x xx→+∞ →+∞
 
= + − = 
  3p
( ) 4
lim lim ln 5
x x
f x x
x→+∞ →+∞
 
= + − = +∞ 
  , deci nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f 2p
2.a)
( )( )
2 2 2 3
1 1
2
3 3 1
x
f x e dx x dx x− − = = =∫ ∫ 3p
8 1 7= − = 2p
b)
( )( ) ( ) ( )
1 1 2
2
0 0
1 13
3 3 20 0
x x x x
x f x x dx xe x dx xe e− = + = − + =∫ ∫ 3p
3 5
1 2 2
= + = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )2
' 6 ' 3 1x
f x e x f x f x x= + ⇒ − = − , deci ( ) ( ) ( )2
0 0
1 1 1
3 1
a a
dx dx
f x f x x
= =
′− −
∫ ∫
1 1 1 1 1
3 1 3 10
a
x a
 
= − ⋅ = − ⋅ + 
− −  , pentru orice ( )0,1a ∈
3p
1 1 1
1
3 1 6a
 
− ⋅ + = 
−  , de unde obținem 1
3
a = , care convine 2p