Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2021

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că ( )2
1 3 6 8i i+ − = − , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 3 7g x x= − . Determinați
coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 2x x− = .
5p 4. Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii { }1,2,3,4,5A = este egal cu
numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A , ( )1,0B − și ( )0,C a , unde a este număr
real. Determinaţi numărul real a , ştiind că dreapta AB conține punctul C .
5p 6. Se consideră numărul real 0, 2
x
π 
∈ 
  astfel încât cos sin 1
6
x
π
+ = . Calculați sin x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 4
1 2
A  
=  
− − 
, 2 6
1 3
B − − 
=  
 
și ( )M x A xB= + , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )1 1M x M x M⋅ = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 1M M M M nM⋅ ⋅ ⋅ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2 2
x y x y x y∗ = + + .
5p a) Arătaţi că 1 2 7∗ = .
5p b) Demonstraţi că 0e = este elementul neutru al legii de compoziţie „* ”.
5p c) Determinați numerele întregi x pentru care ( )2 3x− ∗ ≤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2 2x
f x e x x= + − + .
5p a) Arătați că ( ) 3
' 4 2x
f x e x= + − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că funcţia f este convexă.
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
f x x x
= − .
5p a) Arătați că ( )
3
1
1 4f x dx
x
 
+ = 
 
∫ .
5p b) Arătați că ( )
2
1
1 3
ln 2ln 2 4
f x xdx
x
 
+ = − 
 
∫ .
5p c) Determinați cel mai mare număr natural nenul n pentru care ( )
2 1
1
1
2021
n n
x f x dx+ ≥∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul naţional de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2
1 3 6 1 6 9 6i i i i i+ − = + + − = 3p
1 9 8= − = − 2p
2. ( ) ( ) 1 3 7f x g x x x= ⇔ + = − 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 4x = și 5y = 2p
3. 2 2
3 4 4 3 0x x x x− = ⇒ + − = 3p
1x = − , care nu convine; 3
4
x = , care convine 2p
4. Numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu 2
5
5! 10
3! 2!
C = =
⋅ 2p
Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A este egal cu 3
5
5! 10
2! 3!
C = =
⋅ , deci
numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu numărul de submulțimi
cu trei elemente ale mulțimii A
3p
5. 1ABm = , 2ACm a= − + , unde a este număr real 2p
AB ACm m= , de unde obținem 1a = 3p
6. 1
sin 6 2
π = , deci 1 1
cos 1 cos
2 2
x x+ = ⇒ = 2p
2 21 3
sin 1 sin
4 4
x x+ = ⇔ = și, cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem că 3
sin 2
x = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2 4
det 2 2 4 1
1 2
A = = ⋅ − − ⋅ − =
− − 3p
4 4 0= − + = 2p
b) ( ) 0 2
1 0 1
M − 
=  
 
și ( ) 2 2 4 6
1 2 3
x x
M x x x
− − 
=  
− + − + 
, pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( )
0 2 0 2
1 1
0 0 1
x
M x M x xM
x
− −   
⋅ = = =   
   
, pentru orice număr real x 3p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4 3 2 1 4 3 2 1 2 4 3 1 2 3 4 1M M M M M M M M M M M⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 3p
Cum ( ) ( )2 3 4 1 1M nM⋅ ⋅ = , obținem 24n = 2p
2.a) 2 2
1 2 1 2 1 2∗ = + + ⋅ = 3p
1 2 4 7= + + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 0 0 0x x x∗ = + + = , pentru orice număr real x 2p
0 0 0x x x∗ = + + = , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul neutru al legii de
compoziţie „ ”∗ 3p
c) 2
2 4 3x x− + + ≤ , deci 2
4 5 0x x+ − ≤ 2p
5 ,1
4
x  
∈ − 
  și, cum x este număr întreg, obținem 1x = − sau 0x = sau 1x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4' ' ' '' 2 2x
f x e x x= + − + = 2p
3 3
4 2 0 4 2x x
e x e x= + − + = + − , x ∈ ℝ 3p
b) ( )0 3f = , ( )' 0 1f = − 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 3y x= − + 3p
c) ( ) 2'' 12x
f x e x= + , x ∈ ℝ 3p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice număr real x , deci funcţia f este convexă 2p
2.a)
( )
3 3 3 2
1 1 1
3
1 1
2 1
x
f x dx x dx xdx
x x
 
= − + = = = 
 
∫ ∫ ∫ 3p
9 1 4
2 2
= − = 2p
b)
( )
2 2 2 22 2 2
1 1 1 1
2
'1 1
ln ln ln ln
2 2 2
1
x x x
f x xdx x xdx xdx x dx
x x
  
+ = = = − ⋅ =       
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
2 2
4 1 3
ln 2 ln1 2ln 2
2 2 4 4
1
x
= − − = − 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
122 2 2
1 2 2 2
1 1 1
2
11 1
1 1 ' 1
2 2 1 2 1
1
n
n nn n x
x f x dx x x dx x x dx n n
+
+ −
= − = − − = =
+ +∫ ∫ ∫ 3p
Cum ( ) 2019
2 1 2021 2
n n+ ≤ ⇔ ≤ , obținem că 1009 este cel mai mare număr natural nenul
pentru care ( )
2 1
1
1
2021
n n
x f x dx+ ≥∫
2p